133 Normalverteilte Zufallsvariablen > Die Normalverteilung Zeige mit Hilfe einer Rechnung an einem selbstgewählten Beispiel, dass eine normalverteilte Zufallsvariable mit der Wahrscheinlichkeit a) 68,3 % einen Wert aus dem 1 σ-Intervall annimmt. b) 95,4 % einen Wert aus dem 2 σ-Intervall annimmt. c) 99,7% einen Wert aus dem 3 σ-Intervall annimmt. Die Verteilungsfunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen In Kapitel 5 wurde der Begriff „Verteilungsfunktion F“ einer stetigen Zufallsvariablen X besprochen. Ist f die Dichtefunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen, dann heißt F(x) = P(X ≤ x) die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X. Es gilt daher: 1) F(a) = P(X ≤ a) = : −∞ a f(x)d x 2) F(b) − F(a) = P(a ≤ X ≤ b) = : a b f(x)d x Die Abbildung zeigt den Graphen der Verteilungsfunktion F einer normalverteilten Zufallsvariablen mit dem Erwartungswert μ. Der Graph von F nähert sich asymptotisch dem Wert 1 an und μist die Wendestelle des Graphen von F. X ist eine normalverteilte Zufallsvariable. Drücke die angeführte Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der Verteilungsfunktion F aus und veranschauliche die Wahrscheinlichkeit am Graphen der Dichtefunktion von X. a) P(X ≤ 5) b) P(X > 7) c) P(5 ≤ X ≤ 7) a) L aut Definition der Verteilungsfunktion ist P(X ≤ 5) = F(5). b) Da P(X > 7) = 1 − P(X ≤ 7) gilt: P(X > 7) = 1 − F(7) c) Da P(5 ≤ X ≤ 7) = = P(X ≤ 7) − P(X ≤ 5) gilt: P(5 ≤ X ≤ 7) = F(7) − F(5) x 5 f P (X ª 5) = F (5) x 7 f P (X > 7) = 1 – F (7) F (7) x 5 7 f P (5 ª X ª 7) = F(7) – F(5) X ist eine normalverteilte Zufallsvariable. Drücke die angeführte Wahrscheinlichkeit mit Hilfe der Verteilungsfunktion F aus. Es gilt a < b. a) P(X ≤ 10) c) P(X ≥ 11) e) P(7 < X < 8) b) P(2 ≤ X ≤ 4) d) P(a ≤ X ≤ b) f) P(a ≥ X oder b ≤ X) 375 Ó Technologie Anleitung Verteilungsfunktion 3sn6yu x a f F (a) = P(X ª a) x F(x) F 1 μ Muster 376 377 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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