132 Normalverteilte Zufallsvariablen > Die Normalverteilung 6 σ-Intervalle Gegeben ist eine normalverteilte Zufallsvariable X mit der Dichtefunktion f 1 σ-Intervall 2 σ-Intervall 3 σ-Intervall x μ – σ μ μ + σ f 68,3 % x μ – 2 σ μ μ + 2 σ f 95,4 % x μ – 3 σ μ μ + 3 σ f 99,7 % P(μ − σ ≤ X ≤ μ + σ) ≈ 0,683 P(μ − 2 σ ≤ X ≤ μ + 2 σ) ≈ 0,954 P(μ − 3 σ ≤ X ≤ μ + 3 σ) ≈ 0,997 Die Länge einer bestimmten Fischart ist ungefähr normalverteilt mit μ = 31 cmund σ = 1,5 cm. a) Wieviel Prozent der Fische sind zwischen 29,5 cm und 32,5 cm lang? b) In welchem symmetrischen Intervall um den Erwartungswert liegen 99,7% der Fischlängen? c) Wieviel Prozent der Fische sind größer als 34 cm? a) Das angegebene Intervall ist genau das 1 σ-Intervall [31 − 1,5; 31 + 1,5], daher liegt die Länge von ca. 68,3 % aller Fische in diesem Intervall. b) Es wird nach dem 3 σ-Intervall gefragt: [31 − 3 · 1,5; 31 + 3 · 1,5]. 99,7% der Fische sind zwischen 26,5 cm und 35,5 cm lang. c) P(X > 34) ist in nebenstehender Abbildung genau der Bereich rechts des 2 σ-Intervalls. Da das 2 σ-Intervall 95,4 % entspricht, umfasst der gesuchte Bereich die Wahrscheinlichkeit 1 − 0,954 _ 2 = 0,023. 2,3 % der Fische sind länger als 34 cm. Die Länge (in Zentimeter cm) von Nägeln ist normalverteilt mit N (5; 1,2). Bestimme die Wahrscheinlichkeit des angegebenen Längenbereichs mit Hilfe der Wahrscheinlichkeiten der Sigma-Intervalle. a) [3,8; 6,2] b) [2,6; 7,4] c) länger als 6,2 cm d) kürzer als 1,4 cm Die Körpermasse (in Kilogramm kg) einer Altersgruppe ist normalverteilt mit μ = 37kgund σ = 3 kg. Bestimme die Wahrscheinlichkeit des angegebenen Massenbereichs mit Hilfe der Wahrscheinlichkeiten der Sigma-Intervalle. a) [37; 40] b) [31; 37] c) schwerer als 43 kg d) leichter als 31 kg Die Lebensdauer von Glühbirnen (in Stunden h) ist normalverteilt mit dem Erwartungswert 890 h und der Standardabweichung 50 h. Bestimme ein symmetrisches Intervall um den Erwartungswert, in dem die Lebensdauer von p % der Glühbirnen liegt. a) p = 99,7 b) p = 68,3 c) p = 95,4 Merke Muster 371 372 373 374 x 28 H 34 f 2 σ-Intervall ↔ 95,4 % P(X > 34) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy MjU2NDQ5MQ==