130 Normalverteilte Zufallsvariablen > Die Normalverteilung 6 Eine Zufallsvariable X sei normalverteilt mit N (5; 1). Rudi berechnet den Wert von P (X ≥ 9) und erhält dabei 0. Ist das Ergebnis falsch? In den vorhergehenden Aufgaben wird davon ausgegangen, dass eine Zufallsvariable normalverteilt ist. Da es auch andere Wahrscheinlichkeitsverteilungen gibt, müsste man eigentlich zuerst zeigen, dass diese Annahme gilt. Überlege: Wie kann man überprüfen, ob eine Zufallsvariable normalverteilt ist? Zusammenhänge zwischen den Wahrscheinlichkeiten einer normalverteilten Zufallsvariablen Aufgrund der Symmetrie der Dichtefunktion f der Normalverteilung und aufgrund der Tatsache, dass der Flächeninhalt zwischen f und der x-Achse 1 beträgt, ergeben sich viele Zusammenhänge: Zusammenhänge zwischen den Wahrscheinlichkeitsberechnungen – P(X > c) = 1 − P(X ≤ c) – P(X < μ) = P(X > μ) = 0,5 – P(X < μ − a) = P(X > μ + a) Beschreibe den Zusammenhang zwischen den Wahrscheinlichkeiten einer normalverteilten Zufallsvariablen X mit N (100; 3) mit einer Gleichung und berechne dann die Wahrscheinlichkeiten. a) P(X ≤ 97); P(X < 97) c) P(X ≥ 104); 1 − P(X < 104) e) P(X < 93); P(X > 107) b) P(X ≤ 95); P(X > 95) d) P(X ≤ 96); P(96 < X < 104) f) P(X > 94); P(X < 106) Tipp: Versuche, die Zusammenhänge zuerst graphisch zu erkennen und dann mit Hilfe einer Gleichung zu formulieren. X ist eine normalverteilte Zufallsvariable mit N (4; σ). Gegeben ist P(X ≤ 3) = 0,2. Bestimme nur mit Hilfe dieses Wertes die angegebene Wahrscheinlichkeit. a) P(X > 3) b) P(X > 5) c) P(3 ≤ X ≤ 5) d) P(3 < X ≤ 4) e) P(4 ≤ X < 5) X ist eine normalverteilte Zufallsvariable mit N (350; σ). Gegeben ist P(X ≥ 330)= 0,6. Bestimme nur mit Hilfe dieses Wertes die angegebene Wahrscheinlichkeit. a) P(X ≤ 370) b) P(X > 350) c) P(X ≤ 330) d) P(330 < X ≤ 350) X ist eine N(500; 20)-verteilte Zufallsvariable. In der Abbildung sieht man den Graphen der Dichtefunktion f von X. Der Flächeninhalt der markierten Fläche hat den Wert b. Drücke die angegebenen Wahrscheinlichkeiten durch b aus. a) P(490 < x < 510) c) P(X > 510) b) P(X < 490) d) P(500 < X < 510) » 361 » 362 Merke 363 364 365 366 x 480 500 520 f x c μ x μ x μ f f f P(X ª c) P(X > c) P(X < µ) P(X > µ) P(X < µ – a) µ – a a a { { µ + a P(X > µ + a) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy MjU2NDQ5MQ==