13 1.2 Stammfunktionen graphisch ermitteln Lernziele: º Zusammenhänge zwischen Stammfunktion und Ableitungsfunktion erkennen können º Stammfunktionen graphisch ermitteln bzw. zuordnen können Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung: AN-R 3.1 D en Begriff „Ableitungsfunktion/Stammfunktion“ kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen können AN-R 3.2 D en Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion (bzw. Funktion und Stammfunktion) in deren graphischer Darstellung (er)kennen und beschreiben können AN-R 3.3 E igenschaften von Funktionen mit Hilfe der Ableitung(sfunktion) beschreiben können: Monotonie, lokale Extrema, Links- und Rechtskrümmung, Wendestellen Differentialrechnung bei stetigen Funktionen – Überblick – Der Differentialquotient (die erste Ableitung) von f an der Stelle x ist die momentane Änderungsrate von f an der Stelle x oder (geometrisch interpretiert) die Steigung der Tangente im Punkt P = (x|f(x)). – Ist f‘(p) = 0und f‘‘(p) < 0, dann ist p eine lokale Maximumstelle von f. – Ist f‘(p) = 0und f‘‘(p) > 0, dann ist p eine lokale Minimumstelle von f. – Ist f‘‘(p) = 0und ändert f an der Stelle p ihr Krümmungsverhalten, dann ist p eine Wendestelle von f. – Ist f‘(p) = 0und findet an dieser Stelle kein Monotoniewechsel statt, dann nennt man p eine Sattelstelle (Terrassenstelle) von f. Gegeben ist eine Polynomfunktion f. Berechne die Extrem- und Wendestellen, gib die Art der Extremstellen an und bestimme das Monotonie- und Krümmungsverhalten von f. a) f(x) = 1 _ 3 x 3 + x 2 − 3 x + 1 c) f(x) = 5 _ 2 x 4 − 5 x 2 b) f(x) = 1 _ 15 x 3 + 1 _ 2 x 2 − 36 _ 5 x d) f(x) = 1 _ 4 x 4 − 12, 5 x2 + 5 Bestimme die Funktionsgleichung der Tangente von f an der Stelle p. a) f(x) = − 2 x 2 + 3 x − 4; p = − 5 c) f(x) = x 3+ 3 x2 − 2 x + 1; p = − 2 b) f(x)= 3 x2 + x − 1; p = − 2 d) f(x) = − x 3 − 2 x 2 + 4 x; p = 5 Gegeben ist der Graph einer Polynomfunktion f dritten Grades. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A f‘besitzt drei Nullstellen. B f‘(x) < 0für alle x ∈ [2; 3]. C f‘‘ist eine lineare Funktion. D f‘‘(4) = 0 E f‘‘(1) > 0 Kompetenzen Merke 29 Ó Technologie Anleitung Lösen der Aufgabe mit Technologie c9u7pj 30 AN-R 3.3 M1 31 x f(x) 1 2 3 4 5 6 7 –2 1 2 3 4 5 –4 –3 –2 –1 0 f Vorwissen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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