127 Normalverteilte Zufallsvariablen > Die Normalverteilung Zeichne die Graphen der entsprechenden Dichtefunktionen in ein Koordinatensystem und formuliere Unterschiede und Zusammenhänge. a) N(10; 1) N(10; 2) N(10; 3) c) N(300; 20) N(200; 20) N(100; 20) b) N(100; 10) N(100; 20) N(100; 30) d) N(500; 10) N(400; 10) N(200; 10) X ist eine N(μ; σ)-verteilte Zufallsvariable mit der Dichtefunktion f. Fülle die Lücken so, dass ein mathematisch korrekter Satz entsteht. a) Wenn man nur den Parameter μ verkleinert, dann verschiebt sich der Graph von f nach (1) und der Funktionswert des Maximums von f (2) . b) Wenn man nur den Parameter σ vergrößert, dann gilt: Der Funktionswert des Maximums von f (1) und der Graph wird (2) . Zeige, dass die Dichtefunktion f der Normalverteilung N (μ; σ) folgende Eigenschaft hat: a) f besitzt ein lokales Maximum an der Stelle μ . b) Die Wendepunkte von f sind an den Stellen μ − σ und μ + σ. c) Der Graph von f ist symmetrisch zur Geraden x = μ. Tipp: Zeige, dass gilt: f(μ − c) = f(μ + c) Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit Technologieeinsatz Da man Wahrscheinlichkeiten stetiger Zufallsvariablen als Flächeninhalte unter einer (Wahrscheinlichkeits-) Dichtefunktion interpretieren kann, berechnet man Wahrscheinlichkeiten normalverteilter Zufallsvariablen mit Hilfe von Flächeninhalten unter der entsprechenden Gauß’schen Glockenkurve. Betrachtet man zum Beispiel eine N (500; 50)-verteilte Zufallsvariable X, so entspricht die Wahrscheinlichkeit P(X ≤ 575) dem markierten Flächeninhalt in der nebenstehenden Abbildung der Gauß’schen Glockenkurve. Dieser wird durch das folgende Integral berechnet: P(X ≤ 575) = : −∞ 575 1 _ 9 2 π · 50 · e − 1 _ 2( x − 500 _ 50 ) 2 dx Das Aufsuchen von Stammfunktionen gestaltet sich selten so einfach, wie bisher gezeigt. Zum Beispiel kann man die Stammfunktion der Gauß-Funktion nicht angeben. Die Wahrscheinlichkeiten (= Flächeninhalte) in diesem Kapitel werden daher mit Technologieeinsatz berechnet. Die Berechnung ohne Technologieeinsatz wird anschließend im Abschnitt 6.2 vorgestellt. P (X ≤ 575) = : −∞ 575 1 _ 9 2 π · 50 · e − 1 _ 2( x−500 _ 50 ) 2 dx = Technologie ⎯ ⟶ = 0,9332 349 350 (1) (2) links wird kleiner rechts wird größer unten bleibt gleich Ó Technologie Darstellung Einfluss von μ und σ auf den Graphen qn7hr8 (1) (2) wird kleiner breiter wird größer schmäler bleibt gleich weder breiter noch schmäler 351 x 350 400 450 500 550 600 f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy MjU2NDQ5MQ==