120 5 Weg zur Matura Stetige Zufallsvariablen > Teil-2-ähnliche Aufgaben Teil-2-ähnliche Aufgaben Vielen Bereichen in unserem Alltag wird zur besseren Planung ein mathematisches Modell zugrunde gelegt. Eine häufige Tätigkeit in unserem Alltag ist Warten. Wir warten am Telefon in der Warteschleife, beim Arzt, auf den Bus … Die Zufallsvariable X bezeichnet die Wartezeit (in Minuten) auf den nächsten Bus. Die Verteilungsfunktion von X ist F mit F(x) = x − a _ b − a im Intervall [a; b] mit a, b ∈ ℝ +. a) 1) Zeige, dass die minimale Wartezeit a Minuten und die maximale Wartezeit b Minuten beträgt. b) 1) Berechne die Dichtefunktion von X für die Parameter a = 1und b = 9. c) 1) Die stetige Zufallsvariable X heißt gleichverteilt, wenn sie eine Dichtefunktion f mit f(x) = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 0; x < a 1 _ b − a; a ≤ X ≤ b 0; x > b ; a, b ∈ ℝ und a < bbesitzt. Zeige, dass der Erwartungswert einer gleichverteilten Zufallsvariablen immer der Mittelpunkt des Intervalls [a; b] ist. 2) Berechne die Verteilungsfunktion F(x) zur gegebenen Dichtefunktion f(x). Die Zufriedenheit von Nutzern elektronischer Geräte hängt sehr von deren Lebensdauer ab. Diese wiederum ist an die Lebensdauer ihrer elektronischen Bauteile gebunden. Die Zufallsvariable X ist die Lebensdauer (in Jahren) eines elektronischen Bauteils. Die Dichtefunktion von X ist f mit f(x) = (x − 3) 2 _ 9 und die Verteilungsfunktion von X ist F mit F(x) = 1 _ 27 x 3 − 1 _ 3 x 2 + xim Intervall [0; 3] gegeben. a) 1) Zeige, dass für f außerhalb des Intervalls [0; 3] gelten muss: f(x) = 0. b) 1) Der Modus einer Zufallsvariablen ist der Maximalwert der Dichtefunktion. Bestimme den Modus von X. c) 1) Das Perzentil xP einer Zufallsvariablen bezeichnet jene Stelle der Verteilungsfunktion, an der diese den Wert P erreicht. Bestimme das Perzentil x0,9 von X. d) 1) Skizziere den Graphen von f und zeichne den Wert von a, für den gilt P (X < a) = 0,5, in diesen ein. Die Absatzmenge eines Produktes hängt nicht nur vom Preis ab, sondern auch von zufälligen Faktoren. So z.B. wird der Absatz von Speiseeis vom Wetter, der Verkauf von Schipässen von der Schneehöhe beeinflusst. Die Zufallsvariable X ist die Absatzmenge X eines Produktes (in tausend Stück). Der Verkaufspreis beträgt 10 € pro Stück. Die Dichtefunktion von X ist f mit f(x) = { 0; x < 0 0,0012 x 3 − 0,024 x2 + 0,12 x; 0 ≤ x ≤ 10 0; x > 10 . a) 1) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 4000 Stück verkauft werden. b) 1) Berechne den Erwartungswert des Erlöses, den man beim Verkauf dieses Produktes erzielt. c) 1) Berechne das Maximum von f und zeige, dass F an dieser Stelle die größte Steigung besitzt. M 338 M 339 M 340 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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