12 Stammfunktionen > Stammfunktionen – das unbestimmte Integral Gib an, ob folgende Aussage stimmt, und begründe die Entscheidung. a) Jede Stammfunktion einer linearen Funktion ist eine lineare Funktion. b) Jede Stammfunktion einer konstanten Funktion f mit f(x) = c(c ∈ ℝ\{0}) ist linear. c) Jede Stammfunktion der Funktion f mit f(x) = 0ist konstant. d) Jede Stammfunktion einer Potenzfunktion ist eine Potenzfunktion. e) Jede Stammfunktion einer Potenzfunktion mit positivem Exponenten ist eine Potenzfunktion. f) Jede Stammfunktion einer rationalen Funktion ist eine rationale Funktion. Gegeben sind zwei Funktionen f und g, zwei Stammfunktionen F und G (von f und g) sowie eine positive reelle Zahl k. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A F − Gist eine Stammfunktion von f − g. B k · Fist eine Stammfunktion von k · f. C G ist eine Stammfunktion von g + k. D G · Fist eine Stammfunktion von g · f. E k · F(x) ist eine Stammfunktion von f(k · x). Auffinden einer speziellen Stammfunktion Die Geschwindigkeit eines Rennwagens bei einem Rennen lässt sich durch die Funktion v mit v(t) = 0, 5 t2 (v in m/s, t in Sekunden) beschreiben. Beim Start befindet sich der Wagen 10 m hinter der Startlinie. Bestimme die Zeit-Ort-Funktion s, wenn die Startlinie als Bezugspunkt angenommen wird. Um eine Zeit-Ort-Funktion zu erhalten, muss eine Stammfunktion von v bestimmt werden. Diese erhält man mittels Integration. Es gilt: s(t) = ∫ (0, 5 t 2)dt = 0, 5 t 3 _ 3 + c Um die zutreffende Stammfunktion zu finden, wird die Bedingung s(0) = − 10(da sich der Wagen zu Beginn 10 m hinter der Startlinie befindet) verwendet. Dadurch kann der Parameter c bestimmt werden: s (0) = c = − 10 ⇒ s(t) = 0, 5 t 3 _ 3 − 10 Die Geschwindigkeit eines Rennwagens bei einem Rennen lässt sich durch die Funktion v (v in m/s, t in Sekunden) beschreiben. Beim Start befindet sich der Wagen a Meter hinter der Startlinie. Bestimme die Zeit-Ort-Funktion s, wenn die Startlinie als Bezugspunkt (s = 0) angenommen wird. a) v(t) = 10 t; a = 12 b) v(t) = 0, 4 t2 + 3 t; a = 15 c) v(t) = 0,7 t2; a = 5 Bestimme jene Stammfunktion F von f, welche die angegebene Bedingung erfüllt. a) f(x) = − x − 5; F(− 3) = 1 d) f(x) = − 0, 34 · e−2 x; F(0) = 15 b) f(x) = − x 2 + 3 x − 2; F(3) = 2 e) f(x) = 0,12 · e3 x; F(0) = 4 c) f(x) = − 2 x 2 + x − 1; F(0) = 4 f) f(x) = 3 · sin(4 x); F(π) = 0 Gegeben ist eine Zeit-Beschleunigungsfunktion a (t in Sekunden, a in m /s2). Bestimme die Zeit-Ort-Funktion s, welche die gegebenen Bedingungen erfüllt. a) a(t) = 5; v(1) = 5; s(0) = 12 b) a(t) = 5 t + 1; v(1) = 12; s(3) = 60 23 AN-R 4.2 M1 24 Muster 25 26 27 Ó Arbeitsblatt Weg – Geschwindigkeit – Beschleunigung r4g2ds 28 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
RkJQdWJsaXNoZXIy MjU2NDQ5MQ==