119 Stetige Zufallsvariablen > Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer stetigen Zufallsvariablen Die Zufallsvariable X besitzt die Dichtefunktion f. 1) Bestimme den Erwartungswert von X. 2) Bestimme die Standardabweichung von X. 3) Bestimme die Wahrscheinlichkeit P (μ − σ ≤ X ≤ μ + σ). a) f(x) = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 0; x < − 2 3 _ 32 (4 − x 2); − 2 ≤ x ≤ 2 0; x > 2 b) f(x) = { 0; x < 0 0,5 · e−0,5 x; x ≤ 0 Bei einer Bergbahn kommt alle zehn Minuten eine Gondel. Die Zufallsvariable X ist die Wartezeit bis zum Eintreffen der nächsten Gondel. X besitzt die Dichtefunktion f mit f(x) = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 0; x < 0 1 _ 10; 0 ≤ X ≤ 10 0; x > 10 . a) Bestimme den Erwartungswert von X und interpretiere diesen. b) Bestimme die Standardabweichung von X. c) Bestimme die Wahrscheinlichkeit P (μ − σ ≤ X ≤ μ + σ) und interpretiere den erhaltenen Wert. Zusammenfassung Die (Wahrscheinlichkeits-)Dichtefunktion f einer stetigen Zufallsvariablen X f hat folgende Eigenschaften: (1) f(x) ≥ 0; x ∈ ℝ (2) : −∞ ∞ f(x)dx = 1 Ist f(x) eine Dichtefunktion von X, so gilt: P(a ≤ X ≤ b) = : a b f(x)dx P(X = a) = 0 Die Verteilungsfunktion F einer stetigen Zufallsvariablen X F hat folgende Eigenschaften: (1) F(a) = P(X ≤ a) = : −∞ a f(x)dx (2) F(b) − F(a) = P(a ≤ X ≤ b) = : a b f(x)dx f … Dichtefunktion von X (3) F steigt monoton bis auf den maximalen Wert 1 an. Erwartungswert μund Varianz σ 2 einer stetigen Zufallsvariablen E(X) = μ = : −∞ ∞ x · f(x)dx V(x) = σ 2 = : −∞ ∞ (x − μ) 2 · f(x)dx σ ist die Standardabweichung von X. Ó Arbeitsblatt Erwartungswert und Varianz berechnen 7w28hv 336 337 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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