118 5.2 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer stetigen Zufallsvariablen Lernziel: º Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer stetigen Zufallsvariablen berechnen und interpretieren können Die Definitionen für Erwartungswert und Varianz einer stetigen Zufallsvariablen sind: X ist eine diskrete Zufallsvariable, die die Werte x i (i = 1, 2, 3, 4, …) annimmt, mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x i) = P(X = x i). Erwartungswert der Zufallsvariablen X E(X) = μ = x 1 · f(x 1) + x 2 · f(x 2) + x 3 · f(x 3) + … Varianz der Zufallsvariablen X V(X) = σ 2 = (x 1 − μ) 2 · f(x 1) + (x 2 − μ) 2 · f(x 2) + (x 3 − μ) 2 · f(x 3) + … Die Zufallsvariable X bezeichnet die Augensumme bei einem Wurf mit 2 Würfeln. Bestimme den Erwartungswert und die Standardabweichung von X. Analog zu diskreten Zufallsvariablen definiert man Dichtefunktionen f für stetige Zufallsvariablen. Aus den Summen im diskreten Fall werden Integrale im stetigen Fall. Erwartungswert μ einer stetigen Zufallsvariablen E(X) = μ = : −∞ ∞ x · f(x)d x Varianz σ 2 und Standardabweichung σ einer stetigen Zufallsvariablen V(x) = σ 2 = : −∞ ∞ (x − μ) 2 · f(x)dx σ = 9 _ V… Standardabweichung Die Zufallsvariable X besitzt die Dichtefunktion f mit f(x) = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 0; x < 0 x; 0 ≤ x ≤ 1 − x + 2; 1 < x ≤ 2 0; x > 2 . a) Bestimme den Erwartungswert von X. b) Bestimme die Standardabweichung von X. Die entsprechenden Integrale werden für jeden Definitionsbereich einzeln berechnet. a) E(X) = μ = : −∞ 0 x · f(x)dx + : 0 1 x · f(x)dx + : 1 2 x · f(x)dx + : 2 ∞ x · f(x)dx = = : −∞ 0 x·0dx + : 0 1 x·xdx + : 1 2 x · (− x + 2)dx + : 2 ∞ x·0dx = Technologie = 1 b) V(X) = σ 2 = : −∞ 0 (x − 1) 2 · 0 dx + : 0 1 (x − 1) 2 · xdx + : 1 2 (x − 1) 2 · (− x + 2)dx + + : 2 ∞ (x − 1) 2 · 0 dx = Technologie = 1 _ 6 ⇒ σ = 9 _ 1 _ 6 ≈ 0,41 Kompetenzen Merke 334 Ó Arbeitsblatt Erwartungswert und Varianz bestimmen m6m9kj Merke Muster 335 x f(x) 1 2 1 –1 0 f Ó Technologie Anleitung μ und σ von stetigen Zufallsvariablen bestimmen w8s9ed Vorwissen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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