116 Stetige Zufallsvariablen > Dichte- und Verteilungsfunktionen 5 Die stetige Zufallsvariable X gibt die Kosten in Millionen Euro an, die man wahrscheinlich für ein geplantes Projekt ausgeben wird. X besitzt die Dichtefunktion f. Kreuze die zutreffende(n) Aussage(n) an. A Mit 50 % Wahrscheinlichkeit wird das Projekt mindestens 3 Mio. Euro kosten. B Mit 75 % Wahrscheinlichkeit wird das Projekt mehr als 3,5 Mio. Euro kosten. C Mit 25 % Wahrscheinlichkeit wird das Projekt höchstens 2,5 Mio. Euro kosten. D Das Projekt wird sicher weniger als 4 Mio. Euro kosten. E Am wahrscheinlichsten sind die Kosten von 4 Mio. Euro. Die Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariablen Die Verteilungsfunktion F für eine stetige Zufallsvariable X wird analog zur Verteilungsfunktion für diskrete Zufallsvariablen definiert. F(a) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass die Zufallsvariable einen Wert kleiner oder gleich a annimmt: F(a) = P(X ≤ a). Die Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariablen X Die Funktion F heißt Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X mit der Dichtefunktion f, wenn sie folgende Eigenschaften aufweist: (1) F(a) = P(X ≤ a) = : −∞ a f(x)d x (2) F(b) − F(a) = P(a ≤ X ≤ b) = : a b f(x)dx (3) F steigt monoton bis auf den maximalen Wert 1 an (s. Graph. Aufg. 325). F ist Stammfunktion von f: ∫f(x)dx = F(x) + cund F‘(x) = f(x) Zeichne zur Dichtefunktion f mit f(x) = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 0; x < 1 1 _ x; 1 ≤ x ≤ e 0; x > e den Graphen der Verteilungsfunktion. Da die Verteilungsfunktion die Stammfunktion von f ist, gilt: F(x) = { 0; x < 1 ln x; 1 ≤ x ≤ e 0; x > e Berechnung von F(x): F(x) = ∫ ( 1 _ x)dx = lnx + cund F(e) = ln(e) +c=1⇒ c = 0⇒ F(x) = ln(x) Zeichne zur gegebenen Dichtefunktion f den Graphen der Verteilungsfunktion F. a) f(x) = { 0; x < 1 0,1; 1 ≤ x ≤ 11 0; x > 11 b) f(x) = { 0; x < 0 0,5 x; 0 ≤ x ≤ 2 0; x > 2 c) f(x) = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 0; x < 0 sin (x); 0 ≤ x ≤ π _ 2 0; x > π _ 2 324 x f(x) 1 2 3 4 5 6 7 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0 f Merke x f(x) a b 0 f F(a) x f(x) a b 0 f F(b) x f(x) a b 0 f F(b) – F(a) Muster 325 x f(x), F(x) 1 2 3 4 1 0 f F e 326 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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