114 Stetige Zufallsvariablen > Dichte- und Verteilungsfunktionen 5 Man beachte, dass alle Histogramme die Balkenhöhe 1 _ 6 haben, dieser Wert aber nicht mehr in allen Histogrammen den Wahrscheinlichkeiten für die Werte der Zufallsvariablen entspricht. Bei der Unterteilung des Intervalls in unendlich viele Boxen (stetige Zufallsvariable), kann man sich das Histogramm als eine Aneinanderreihung von unendlich vielen Strichen mit der Höhe 1 _ 6 vorstellen. Diese Vorstellung ist in der Abbildung veranschaulicht. Aus diesem Diagramm kann man zwar nicht die Wahrscheinlichkeit für den Wert einer einzelnen Zufallsvariablen, allerdings aber für ein Intervall der Zufallsvariablen bestimmen. Es entspricht dem Flächeninhalt des Histogramms in diesem Intervall. P(4 ≤ X ≤ 6) = 2 · 1 _ 6 = 2 _ 6 ≈ 0,33 Da der Gesamtflächeninhalt des Histogramms die Gesamtwahrscheinlichkeit darstellt, muss er 1 betragen. Bei stetigen Zufallsvariablen ist es also nicht sinnvoll, die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Wert der Zufallsvariablen anzugeben. Allerdings kann man die Wahrscheinlichkeit für Intervalle der Zufallsvariablen als Flächeninhalt unter dem Graphen einer Funktion f, die man (Wahrscheinlichkeits-)Dichtefunktion nennt, bestimmen. Für die stetige Zufallsvariable aus Zufallsversuch 4 lautet die Gleichung der Dichtefunktion im Intervall [0,5; 6,5]: f(x) = 1 _ 6. Außerhalb dieses Intervalls ist f(x) = 0. Die (Wahrscheinlichkeits-)Dichtefunktion Die Funktion f heißt (Wahrscheinlichkeits-)Dichtefunktion einer Zufallsvariablen X, wenn sie folgende Eigenschaften aufweist: (1) f(x) ≥ 0; für alle x ∈ ℝ (2) : −∞ ∞ f(x)dx = 1 Beachte: – f(a) entspricht nicht der Wahrscheinlichkeit P (X = a). – P(a ≤ X ≤ b) = : a b f(x)d x – Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable einen Wert im Intervall [a; b]annimmt, entspricht dem Flächeninhalt zwischen dem Graphen von f und der x-Achse in [a; b]. – Da P(X = a) = P(a ≤ X ≤ a) = : a a f(x)dx = 0gilt, ist die Wahrscheinlichkeit, dass X einen bestimmten Wert a annimmt gleich 0. Daher gilt auch: P (a ≤ X ≤ b) = P(a < X < b). Zeichne den Graphen von f und zeige, dass die Funktion f die Dichtefunktion einer Zufallsvariablen X sein kann. f(x) = { 0; x < 2 0,5 x − 1; 2 ≤ x ≤ 4 0; x > 4 Untersuchung der Eigenschaften von f: f(x) ≥ 0für x ∈ ℝ und : −∞ ∞ f(x)dx = 2 · 1 _ 2 = 1(Inhalt der Dreiecksfläche unter f) ⇒ f ist eine Dichtefunktion. 1 2 3 4 5 6 7 _1 6 0 f(x) = _1 6 Merke Ó Technologie Anleitung Abschnittsweise definierte Funktionen th7ri7 Muster 318 x f(x) 1 2 3 4 –1 1 2 –1 0 f Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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