113 Stetige Zufallsvariablen > Dichte- und Verteilungsfunktionen Anhand dieses Gedankenexperimentes erkennt man deutlich, dass man für einzelne Werte einer stetigen Zufallsvariablen keine Wahrscheinlichkeit angeben kann. Am ehesten könnte man vermuten, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel genau auf die Zahl 5 fällt, null beträgt. a) Ein fairer 6-, 12-, 100-seitiger Spielwürfel wird geworfen. Die Zufallsvariable X bezeichnet die gewürfelte Augenzahl. Bestimme jeweils P (X = 6). b) Ein unendlichseitiger Spielwürfel wird geworfen. (Wie sieht dieser „Würfel“ aus?) Beschreibe die Schwierigkeiten, P (X = 6)zu bestimmen. a) Ein Glücksrad wird in 10, 100, 1 000 durchnummerierte gleich große Sektoren geteilt. Bestimme jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass beim einmaligen Drehen des Glücksrades der Sektor mit der Zahl 1 angezeigt wird. b) Drehe in einem Gedankenexperiment ein Glücksrad mit zwei Metern Umfang, an dessen Rand ein Maßband mit zwei Metern Länge angebracht ist. X bezeichnet die Zahl (in Meter), die beim einmaligen Drehen am Maßband angezeigt wird. Beschreibe die Schwierigkeit, die Wahrscheinlichkeit P (X = 1)zu bestimmen. Das Problem bei stetigen Zufallsvariablen besteht darin, dass man einzelnen Werten der Variablen keine Wahrscheinlichkeit zuordnen kann. Die Lösung für dieses Problem erkennt man, wenn man Histogramme der Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallsversuche 1 bis 3 aus Seite 112 anfertigt, in denen die Flächeninhalte der Säulen den Wahrscheinlichkeiten entsprechen. Mit den Histogrammen wird dann die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall der Zufallsvariablen X (z.B. P (4 ≤ X ≤ 6)) berechnet und veranschaulicht. Zufallsversuch 1 Zufallsversuch 2 Zufallsversuch 3 1 _1 6 0 2 3 4 5 6 7 1 _1 6 0 2 3 4 5 6 7 1 _1 6 0 2 3 4 5 6 7 P(X = 5) = 1 · 1 _ 6 = 1 _ 6 = 0,1667 P(X = 5) = 1 _ 3 · 1 _ 6 = 1 _ 18 = 0,0556 P(X = 5) = 1 _ 27 · 1 _ 6 = 1 _ 162 = 0,0062 Da die Zufallsvariable sechs Werte annehmen kann, besteht das Histogramm aus sechs Säulen. Da jede Säule die Breite 1 hat, muss die Höhe jeder Säule 1 _ 6 betragen, sodass der Flächeninhalt jeder Säule der Wahrscheinlichkeit ( 1 _ 6) entspricht. Da die Zufallsvariable 18 Werte annehmen kann, besteht das Histogramm aus 18 Säulen. Da jede Säule die Breite 6 _ 18 = 1 _ 3 hat, muss die Höhe jeder Säule 1 _ 6 betragen, sodass der Flächeninhalt der Säule der Wahrscheinlichkeit ( 1 _ 18)entspricht. Da die Zufallsvariable 162 Werte annehmen kann, besteht das Histogramm aus 162 Säulen. Da jede Säule die Breite 6 _ 162 = 1 _ 27 hat, muss die Höhe jeder Säule 1 _ 6 betragen, sodass der Flächeninhalt der Säule der Wahrscheinlichkeit ( 1 _ 162)entspricht. P(4 ≤ X ≤ 6) = 3 · 1 _ 6 = 3 _ 6 P(4 ≤ X ≤ 6) = 7 · 1 _ 18 = 7 _ 18 P(4 ≤ X ≤ 6) = 55 · 1 _ 162 Die Summe der Flächeninhalte dieser drei Balken von X = 4bis X = 6entspricht dieser Wahrscheinlichkeit. (3 · 2 + 1 = 7Balken) Die Summe der Flächeninhalte dieser sieben Balken von X = 4 bis X = 6entspricht dieser Wahrscheinlichkeit. (27· 2 + 1 = 55Balken) Die Summe der Flächeninhalte dieser 55 Balken von X = 4bis X = 6entspricht dieser Wahrscheinlichkeit. 316 6 Ó Arbeitsblatt Glücksrad, Urne 59ui2r 317 Ó Technologie Darstellung Grenzübergang 79w8ev Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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