112 Stetige Zufallsvariablen > Dichte- und Verteilungsfunktionen 5 Beurteile, ob es sich bei X um eine diskrete oder stetige Zufallsvariable handelt. Begründe deine Antwort. Die Zufallsvariable X bezeichnet a) die Anzahl der Besucher bei einem Fest. c) den Preis einer Hotelübernachtung. b) die Verweildauer vor einem Bild im Museum. d) das Gewicht eines Apfels. a) Die Zufallsvariable X bezeichnet die Körpergröße von Personen. Jemand behauptet: „Da ich mit meinem Maßband nur auf Millimeter genau messen kann, ist X eine diskrete Zufallsvariable.“ Verfasse eine begründete Beurteilung dieser Aussage. b) Die Zufallsvariable X bezeichnet den Prozentanteil der Jugendlichen, die bei einer Schulsprecherinnenwahl für eine Kandidatin stimmen werden. Beurteile, ob es sich bei X um eine stetige oder diskrete Zufallsvariable handelt und begründe deine Entscheidung. In einem landwirtschaftlichen Forschungszentrum wird die Höhe h von 500 Sonnenblumen untersucht. Folgende Tabelle zeigt die Ergebnisse der Untersuchung: Höhe in cm h < 50 50 ≤ h < 80 80 ≤ h < 120 120 ≤ h < 170 170 ≤ h < 190 190 ≤ h < 210 Anzahl der Blumen 11 29 191 232 27 10 Stelle die absoluten Häufigkeiten des Untersuchungsergebnisses als Histogramm dar. Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer stetigen Zufallsvariablen Bei diskreten Zufallsvariablen kann man mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsverteilung jedem Wert der Zufallsvariablen die entsprechende Wahrscheinlichkeit zuordnen. Wie die folgenden (Gedanken-)Experimente zeigen, führt diese Vorgangsweise bei stetigen Zufallsvariablen zu einem mathematischen Problem. Als Beispiel für eine stetige Zufallsvariable betrachtet man die Zufallsvariable X, die jeden Wert aus dem Intervall [0,5; 6,5]annehmen kann. Möchte man nun die Wahrscheinlichkeit für einen bestimmten Wert von X berechnen (zum Beispiel P(X = 5)), führt dies zu einem Problem, das im folgenden Gedankenexperiment deutlich wird. Wie in den Abbildungen veranschaulicht, werden auf dem Intervall [0,5; 6,5]gleichartige Töpfe aufgestellt. Die Anzahl der Töpfe vergrößert sich von einem Zufallsversuch zum anderen. In diese Töpfe wird nun zufällig eine Kugel geworfen. Es wird dabei angenommen, dass die Kugel in jedem der Töpfe mit der gleichen Wahrscheinlichkeit landen kann. Die Zufallsvariable X bezeichnet die Zahl in der Mitte des Topfbodens. Zufallsversuch 1 Zufallsversuch 2 Zufallsversuch 3 Zufallsversuch 4 Es werden 6 Töpfe aufgestellt. Es werden 18 Töpfe aufgestellt. Es werden 162 Töpfe aufgestellt. Es werden unendlich viele Töpfe aufgestellt. Die Zufallsvariable X ist nun stetig. 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 P(X = 5) = 1 _ 6 ≈ 0,1667 P(X = 5) = 1 _ 18 ≈ 0,0556 P(X = 5) = 1 _ 162 ≈ 0,0062 P(X = 5) = 1 _ ∞ = ? 313 Ó Arbeitsblatt Stetige Zufallsvariable n6fm3d » 314 315 Vorwissen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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