111 5.1 Dichte- und Verteilungsfunktionen Lernziele: º Den Begriff „stetige Zufallsvariable“ kennen º Eigenschaften einer (Wahrscheinlichkeits-) Dichtefunktion kennen º Eigenschaften einer (stetigen) Verteilungsfunktion kennen º Verteilungs- und Dichtefunktionen interpretieren und modellieren können Die Zufallsvariable X bezeichnet die Anzahl der „Sechser“, die beim sechsmaligen Werfen eines Würfels auftreten. a) Bestimme die Werte, die X annehmen kann. b) Gib die Wahrscheinlichkeitsfunktion f von X an und stelle sie in einem Stabdiagramm dar. c) Bestimme die Verteilungsfunktion F der Zufallsvariablen X und zeichne ihren Graphen. Stetige Zufallsvariablen In Lösungswege 7 wurden Zufallsvariablen mit einer gemeinsamen Eigenschaft betrachtet: Die Anzahl der Werte dieser Zufallsvariablen waren alle abzählbar. Das bedeutet: Die Werte, die diese Zufallsvariable annehmen kann, können durchnummeriert werden. Solche Zufallsvariablen nennt man diskret. Nun werden als Zufallsvariablen statt diskreter Größen (z.B. Anzahl, Gewinn in Euro, Schuhgrößen) solche Größen betrachtet, deren Werte nicht abzählbar sind. Diese treten meistens bei Messungen auf (z.B. die Messung von Längen, Zeitspannen, Gewichten). Solche Zufallsvariablen können beliebige Werte innerhalb eines Intervalls annehmen. Als Wert der Zufallsvariablen kommt also jede reelle Zahl innerhalb eines Intervalls infrage. Derartige Zufallsvariablen nennt man stetig. Beurteile, ob es sich um eine diskrete oder stetige Zufallsvariable handelt. a) Die Zufallsvariable X bezeichnet die Anzahl der Kinder in einem Kindergarten (mit 145 Kindern), die das Mittagessen am nächsten Tag in Anspruch nehmen werden. b) Die Zufallsvariable X bezeichnet die Milchmenge (in c m3) in einer 1 l-Milchpackung. a) X kann die Werte x 1 = 0, x2 = 1, x3 = 2, …, x146 = 145annehmen. Die Werte der Zufallsvariablen sind also durchnummerierbar und damit abzählbar. X ist eine diskrete Zufallsvariable. b) X kann alle Werte innerhalb eines Intervalls annehmen. Je nach Genauigkeit der Abfüllanlage könnte X z.B. jeden Wert aus dem Intervall x ∈ [980; 1 020] annehmen. Die möglichen Werte für X können also nicht abgezählt werden. X ist eine stetige Zufallsvariable. Stetige Zufallsvariable Kann eine Zufallsvariable X jeden Wert aus einem Intervall der reellen Zahlen annehmen, so nennt man sie stetige Zufallsvariable. Kompetenzen 311 Ó Arbeitsblatt Übungen mit Zufallsvariablen 6w2v67 Ó Vertiefung „Überabzählbare Mengen“ 5t24vu Muster 312 Merke Vorwissen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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