110 5 Stetige Zufallsvariablen Zufa®®svariab®en konnten bis jetzt immer bestimmte (abzäh®bare, diskrete) Werte annehmen: Anzah® von Kuge®n, Augenzah®en von Würfe®n, Anzah® von Personen, … Es gibt jedoch Zufa®®svariab®en, für die jeder Wert in einem ®nterva®® passen kann, z.B. könnte eine Maschine Meh®packungen derart abfü®®en, dass deren Massen jeden Wert zwischen 980 g und 1 020 g annehmen. Es geht in diesem Kapite® a®so wieder um eines der ganz großen Themen in der Mathematik: um den Unterschied zwischen ,,diskret“ und ,,kontinuier®ich“. Dieser Gegensatz macht sich zum Beispie® schon an der Zah®engeraden bemerkbar. Eine Gerade ist etwas Kontinuier®iches, a®so ein Objekt, das keine Zwischenräume besitzt. Wi®® man diese mit Zah®en beschreiben (fü®®en), so ge®ingt das mit ganzen Zah®en nicht, da sich ja zwischen den ganzen Zah®en noch Lücken befinden (die ganzen Zah®en sind diskret). ,,Befü®®t“ man die Gerade mit Bruchzah®en, so ge®ingt das schon besser, aber es befinden sich noch immer unend®ich vie®e Lücken zwischen den einze®nen rationa®en Zah®en (erstaun®icherweise gibt es dabei auf der Geraden immer noch mehr Lücken a®s Zah®en). Erst mit den irrationa®en Zah®en ge®ingt es, diese Lücken zu sch®ießen und somit konnte man mit deren ,,Entdeckung“ erstma®s in der Geschichte der Menschheit ein kontinuier®iches Objekt (die Gerade) mit Zah®en (den ree®®en Zah®en) beschreiben. Der Übergang von „diskret“ zu „kontinuier®ich“ macht sich auch bei der Entwick®ung der Differentia®rechnung bemerkbar. Während die Durchschnittsgeschwindigkeit immer eine Ortsveränderung zwischen zwei einze®nen Punkten beschreibt, ist es Leibniz und Newton ge®ungen, kontinuier®iche Ortsveränderungen durch die Momentangeschwindigkeit zu beschreiben. Auch in der modernen Physik ist das Gegensatzpaar „diskret-kontinuier®ich“ eines der großen Themen: Licht verhä®t sich einerseits wie ein Tei®chen (Lichtquanten), andererseits verhä®t es sich auch wie eine kontinuier®iche Größe (Lichtwe®®e). Ebenso kann ein E®ektron sowoh® diskrete Tei®cheneigenschaften a®s auch kontinuier®iche We®®eneigenschaften haben. Wie wahrschein®ich ist es, einen Zweier zu würfe®n? In dem Sack sind a®®e ree®®en Zah®en zwischen 1 und 6. Wie wahrschein®ich ist es, die Zah® 2 zu ziehen? R Ist ja HÜ. NATÜRLICH bin ich gerade dabei es zu lesen!! Hast du im Mathebuch auf S. 110 dieses Post-It gelesen, wo man die Wahrscheinlichkeiten bestimmen soll, mit einem Würfel die Zahl „2“ zu würfeln, oder aus diesem Sack voll mit reellen Zahlen die Zahl „2“ zu ziehen? Die Wahrscheinlichkeit ist laut Laplace „ Anzahl der günstigen Ereignisse ________________ Anzahl der möglichen Ereignisse “. Das ergibt beim Würfel P(„2“) = 1 _ 6 und beim Sack voll mit reellen Zahlen P(„2“) = 1 _ ∞ . Ziemlich leichte HÜ!!! Und? Hey, das ist Mathematik, das hat nichts mit der Realität zu tun! Aber da stimmt doch etwas nicht. 1 _ ∞ ist doch das Gleiche wie null. Somit wäre es laut Laplace unmöglich (!) die Zahl „2“ aus dem Sack zu ziehen. … aber es wäre doch möglich. … Hmmmmm, das Problem ist anscheinend doch nicht so realitätsfremd. Da hat Laplace wahrscheinlich seine Grenze erreicht. Wenn eine Maschine Mehlsäcke abfüllt, dann macht sie das doch nicht bei jedem Sack ganz, ganz genau gleich. Sagen wir, sie füllt Säcke ab, die irgendetwas zwischen 950 g und 1 050 g wiegen. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass ein Sack genau 1 000 g wiegt? – was er laut Packungsangabe auch sollte. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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