107 Weg zur Matura Dynamische Systeme > Teil-2-ähnliche Aufgaben Teil-2-ähnliche Aufgaben Wirkstoffmengen a) Eine Patientin muss täglich um 8 Uhr eine Tablette mit einem Wirkstoffgehalt von 25 mg einnehmen. Innerhalb von 24 Stunden baut der Körper 90 % des Wirkstoffs ab. w n gibt die Wirkstoffmenge (in mg) im Körper nach n Tagen an. 1) Stelle eine Differenzengleichung auf, die die Entwicklung der Wirkstoffmenge im Körper der Patientin beschreibt. 2) Eine andere Patientin nimmt einmal eine Tablette mit 50 mg Wirkstoffgehalt ein. x n gibt die im Körper vorhandene Wirkstoffmenge (in mg) nach n Tagen an. Es gilt: xn = 0,3 · xn − 1 mit x0 = 50 Berechne, wie viel Milligramm Wirkstoff sich fünf Tage nach Einnahme der Tablette noch im Körper der Patientin befinden. b) Einem Patienten werden 100 mg eines Wirkstoffs verabreicht. Man weiß, dass im Körper eines männlichen Patienten stündlich 0,8 mg des Wirkstoffs abgebaut werden. x n gib die im Körper vorhandene Wirkstoffmenge (in mg) nach n Stunden an. 1) Ergänze die fehlenden Werte. x n + 1 − x n = x 0 = 2) Für die Wirkstoffmenge yn (in mg) im Körper eines anderen Patienten n Tage nach dem Verabreichen des Wirkstoffs gilt: y 0 = 80, y1 = 12, y2 = 1,8 Bestimme in der Differenzengleichung y n + 1 = a·yn + bdie Werte der Parameter a und b. a = b = Bestand an Personenkraftwägen Der Bestand an Personenkraftwägen ist in Österreich von 4 441 027 im Jahr 2010 auf 4758 048 im Jahr 2015 angestiegen (Quelle: Statistik Austria). a) Jemand möchte die Veränderung des PKW‑Bestandes pro Jahr durch ein lineares Modell beschreiben. 1) Bestimme die mittlere Änderungsrate des PKW‑Bestandes pro Jahr im Zeitraum von 2010 bis 2015. 2) Gib eine Differenzengleichung nach diesem Modell an, die den Bestand x an PKWs beschreibt. Dabei gibt xnden Bestand nach n Jahren an. x 0 = 4 441 027 xn + 1 = b) Die lineare Differenzengleichung yn + 1 = 0,95 · yn + 300 000beschreibt die Entwicklung des PKW‑Bestandes in einem bestimmten Land (n in Jahren). 1) Bestimme die Wachstumsgrenze W für den PKW-Bestand des Landes. 2) Ermittle in der Differenzengleichung y n + 1 = a·yn + 300 000den Wert des Parameters a so, dass W = 5 000 000ist. M 302 M 303 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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