106 Dynamische Systeme > Wirkungsdiagramme und Flussdiagramme 4 Interpretiere die Flussraten des Diagramms in Hinblick auf die unterschiedlichen Wachstums- bzw. Abnahmemodelle und gib das jeweilige mathematische Modell an. a) Pflanzenhöhe Wachstum Freiraum Wachstumsfaktor Wachstumsgrenze b) Zunahme Wachstumsrate Abbaurate Giftmenge Abbau Gib das mathematische Modell an und stelle den Sachverhalt durch ein Flussdiagramm dar. a) Eine Schafherde vergrößert sich durch Zukauf von Tieren monatlich um v Tiere. b) Eine Hasenpopulation vergrößert sich halbjährlich um p % des aktuellen Bestandes und nimmt im gleichen Zeitraum um q % des aktuellen Bestandes ab. c) Eine Hasenpopulation, der nur eine bestimmte freie Weidefläche zur Verfügung steht, wächst wöchentlich um den Faktor k des aktuellen Bestandes. Erstelle zu den Aufgaben 278, 281, 286 und 288 ein passendes Flussdiagramm. Zusammenfassung Lineare Differenzengleichung: y n + 1= a·yn + b(a ≠ 0) yn … Bestand einer Größe nach n Zeiteinheiten; y 0… Anfangswert Diskrete Wachstumsmodelle und Abnahmemodelle Lineares Modell: y n + 1 = y n + b; absolute Änderung ist konstant: y n + 1 − y n = b; explizite Darstellung: yn = y 0+ n · bmit n ∈ ℕ Exponentielles Modell: yn + 1= a·yn; explizite Darstellung: yn = y 0 · a n mit n ∈ ℕ a > 1… exponentielle Zunahme; 0 < a < 1… exponentielle Abnahme Beschränktes Modell: yn + 1 − y n = k · (W − y n)mit W = b _ 1 − aund k = 1 − a, 0 < a < 1und b > 0; W … Wachstumsgrenze; W − y n… Freiraum absolute Änderung (y n + 1 − y n) ist direkt proportional zu W − y n Kontinuierliche Wachstumsmodelle und Abnahmemodelle mit dem aktuellen Bestand y Lineares Modell: y‘(t) = k ⇔ y(t) = k·t + y0 mit t ∈ ℝ 0 + Exponentielles Modell: y‘(t) = m · y(t) ⇔ y(t) = y 0 · e m·t Beschränktes Modell: y‘(t) = m · (W − y(t)) ⇔ y(t) = W − (W − y 0) · e −m·t Logistisches Modell: y‘(t) = m · y(t) · (W − y(t)) ⇔ y(t) = y 0 · W ____________ y 0 + (W − y 0) · e −W·m·t Dynamische Prozesse können qualitativ durch Wirkungsdiagramme und quantitativ durch Flussdiagramme beschrieben werden. Mit Flussdiagrammen lassen sich Wachstumsmodelle graphisch veranschaulichen. 299 Ó Arbeitsblatt Flussdiagramme interpretieren und aufstellen 822v7v 300 301 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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