105 Dynamische Systeme > Wirkungsdiagramme und Flussdiagramme Erstelle ein Flussdiagramm für die Änderung einer Population P durch Geburten g und Sterbefälle s, die pro Zeitabschnitt direkt proportional zur Population sind. Erstelle ein Flussdiagramm für die Änderung eines Kapitals K, das zu einem gleichbleibenden Jahreszinssatz p1 verzinst wird, wenn jährlich a Euro des Kapitals abgehoben werden. Flussdiagramme zum Beschreiben von Wachstums- bzw. Abnahmemodellen Die charakteristischen Eigenschaften der in Kapitel 4.1 besprochenen Wachstums- bzw. Abnahmemodelle in Form der Differenzengleichung y n + 1= a·yn + blassen sich durch Flussdiagramme veranschaulichen. Ergänzend soll auch das logistische Wachstumsmodell erwähnt werden. Lineares Wachstumsmodell: Zum Beispiel vermehrt sich eine Tierpopulation in gleichen Zeitabschnitten immer um denselben Wert. Mathematisches Modell: yn + 1 = y n + b Der Zuwachs b wird von keinen anderen Größen beeinflusst und ist daher konstant. Exponentielles Wachstumsmodell: Die relative Änderung (z.B. der Bevölkerung eines Landes) ist in gleichen Zeitabschnitten konstant. Mathematisches Modell: yn + 1 = y n + (a − 1) · y n Auf den Zuwachs (a − 1) · y nwirken die Wachstumsrate (a − 1) und der aktuelle Bestand y n. Beschränktes Wachstumsmodell: Die Änderung einer Bestandsgröße in gleichen Zeitabschnitten ist direkt proportional zum momentan vorhandenen Freiraum. Der aktuelle Bestand, die Wachstumsgrenze und die Wachstumsrate wirken auf den Zuwachs. Mathematisches Modell: y n + 1 = y n + (1 − a) · (W − y n)mit W = b _ 1 − a. Der Zuwachs (1 − a) · (W − y n) wird vom Freiraum (W − y n)und der Wachstumsrate (1 − a)beeinflusst. Logistisches Wachstumsmodell: Die Änderung einer Bestandsgröße ist in gleichen Zeitabschnitten direkt proportional zum momentan vorhandenen Freiraum und zum momentanen Bestand. Mathematisches Modell: y n + 1 = y n + (1 − a) · y n · (W − y n)mit W = b _ 1 − a. Der Zuwachs (1 − a) · y n · (W − y n) wird vom Freiraum (W − y n), der Wachstumsrate (1 − a)und dem aktuellen Bestand ynbeeinflusst. Interpretiere die Flussraten des Diagramms in Hinblick auf die unterschiedlichen Wachstums- bzw. Abnahmemodelle und gib das jeweilige mathematische Modell an. a) Zufluss Wasserpegel Abfluss b) Zunahme Änderungsfaktor Fischbestand Abfischen 296 297 Population Zuwachs Bevölkerung Zuwachs Wachstumsrate Bestand Zuwachs Wachstumsrate Wachstumsgrenze Bestand Zuwachs Freiraum Wachstumsrate Wachstumsgrenze 298 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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