100 Dynamische Systeme > Kontinuierliche Wachstumsmodelle und Abnahmemodelle Beim Lösen von Kochsalz in destilliertem Wasser kann die gelöste Menge an Salz einen bestimmten Wert (die Sättigungsgrenze) nicht überschreiten. Bei 100 g destilliertem Wasser beträgt die Sättigungsgrenze 36 g Kochsalz. Beobachtungen zeigen, dass die Momentangeschwindigkeit, mit der sich die gelöste Salzmenge y nach t Minuten ändert, direkt proportional zur Menge des noch lösbaren Salzes ist. Der Proportionalitätsfaktor ist 0,0501. Gib eine Differentialgleichung und deren Lösung für die Menge y(t) der nach t Minuten gelösten Kochsalzmenge an. Kontinuierliches logistisches Modell Eine Größe y ist in einem Zeitintervall [t;t+∆t] logistisch wachsend mit der Wachstumsgrenze W, wenn die mittlere Änderungsrate in diesem Zeitintervall direkt proportional zum vorhandenen Bestand y(t) und zum noch vorhandenen Freiraum (W − y(t)) ist. D.h. y(t + ∆ t) − y(t) _ ∆ t = m · y(t) · (W − y(t)), m ∈ ℝ\{0}. Strebt Δtgegen null, gilt: lim ∆t→0 y(t + ∆ t) − y(t) _ ∆ t = m · y(t) · (W − y(t)) bzw. y‘(t) = m · y(t) · (W − y(t)). Die Lösung einer solchen Differentialgleichung lautet y(t) = y 0 · W ____________ y 0 + (W − y 0) · e −W·m·t (t ∈ ℝ 0 +) mit dem Anfangsbestand y0 = y(0), der Wachstumsgrenze W und dem Freiraum W − y 0. Kontinuierliches logistisches Wachstum y(t) gibt den aktuellen Bestand, W die Wachstumsgrenze und (W − y(t)) den aktuellen Freiraum an. Sind y 0 der anfängliche Bestand, (W − y 0) der anfängliche Freiraum und m ein Proportionalitätsfaktor, gilt: y‘(t) = m · y(t) · (W − y(t)) ⇔ y(t) = y 0 · W ____________ y 0 + (W − y 0) · e −w·m·t Der zugehörige Graph der Funktion y(t) hat die Form: Anfänglich verläuft bei diesem Modell die Entwicklung der Bestandsgröße näherungsweise exponentiell. Bei Annäherung an die Sättigungsgrenze kann die weitere Entwicklung der Bestandsgröße näherungsweise als begrenztes Wachstum beschrieben werden. Daraus resultiert auch der charakteristische Verlauf des zugehörigen Funktionsgraphen. Die Funktion h (t) beschreibt die Höhe einer Hopfensorte in Metern nach t Wochen. Diese Hopfensorte kann eine maximale Höhe von 6 Metern erreichen. Die momentane Höhenänderung zu jedem beliebigen Zeitpunkt t ist direkt proportional zur aktuellen Höhe h und zum noch vorhandenen Freiraum. Biologen geben einen Proportionalitätsfaktor von 0,0634 an. Stelle den Kontext durch eine Differentialgleichung dar und löse sie. Zeige, dass y(t) = 1 _ 1 + 9e−0,4 t eine Lösung der Differentialgleichung y‘(t) = 0,4 · y(t) · (1 − y(t)) mit y(0) = 0,1ist. 287 Merke t y(t) 1 2 3 4 5 1 2 3 0 ®ogistisches Wachstum y Grenze W Ó Arbeitsblatt Beispiele Logistisches Wachstum 3em7hh 288 289 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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