10 Stammfunktionen > Stammfunktionen – das unbestimmte Integral 1 Gib eine Stammfunktion von f an. a) f(x) = − 3 c) f(x) = x 4 e) f(x) = x −133 g) f(x) = x 25 b) f(x) = − 12 d) f(x) = x −12 f) f(x) = x 23 h) f(x) = x Berechne und kontrolliere durch Differenzieren. a) ∫ x 2 _ 5 dx c) ∫ x − 2 _ 3 dx e) ∫ x 1 _ 6 dx g) ∫ x −1 dx b) ∫ x 3 _ 4 dx d) ∫ x − 4 _ 5 dx f) ∫ x − 2 _ 5 dx h) ∫ x 13 _ 9 dx Weitere Integrationsregeln In Lösungswege 7 wurden für das Differenzieren die Summen- und Differenzenregel sowie die Regel vom konstanten Faktor und die Konstantenregel eingeführt. Entsprechende Regeln gibt es auch in der Integralrechnung. Weitere Integrationsregeln Gegeben sind zwei Funktionen f und g und zwei Stammfunktionen F und G (von f und g), k sei eine reelle Zahl (≠ 0). Es gelten folgende Regeln: Summen- und Differenzenregel ∫ (f(x) ± g(x))dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx = F(x) ± G(x) Regel vom konstanten Faktor ∫ k · f(x)dx = k·∫f(x)dx = k · F(x) Konstantenregel ∫ f(k · x)dx = 1 _ k · F(k · x) Beweis der Summen- und Differenzenregel: Diese Regel wird durch Differenzieren bewiesen: (F ± G)‘ = F‘ ± G‘ = f ± g Die anderen beiden Regeln sind Thema in Aufgabe 15. Berechne eine Stammfunktion von f mit f(x) = − 3 x 3 + 2 x2 − 5 xund erkläre, welche Regeln verwendet wurden. Um diese Funktion zu integrieren, werden die Summenregel, die Differenzenregel und die Regel vom konstanten Faktor verwendet: Summenrege®, Rege® vom Differenzenrege® konstanten Faktor F(x) = ∫ (− 3 x 3 + 2 x2 − 5 x)dx = ∫ − 3 x 3 dx + ∫2x2 dx − ∫ 5 xdx = − 3·∫x3 dx + 2·∫x2 dx − 5·∫xdx = − 3 x 4 _ 4 + 2 x 3 _ 3 − 5 x 2 _ 2 + c Berechne drei verschiedene Stammfunktionen von f und erkläre, welche Regeln verwendet wurden. Überprüfe die Rechnung mittels Differenzieren. a) f(x) = x 4 + x 3 + 4 d) f(x) = − 60 _ 5 x 6 + 4 _ 3 x 4 − 2 x + 3 b) f(x) = x 4 − x 2 − x − 1 e) f(x) = 2 x5 + 3 x4 − 2 x + 15 c) f(x) = − 2 _ 3 x 3 + 1 _ 5 x 5 + x f) f(x) = − 7 _ 3 x 7 + 1 _ 5 x 4 − 2 _ 3 x Berechne eine Stammfunktion von f und erkläre, welche Regeln verwendet wurden. a) f(x) = − 12 x −3 + 2 x−1 − 5 c) f(x) = − x −5 + 2 x−4 − 2 x b) f(x) = 2 x 1 _ 2 + 2 x−1 − 5 d) f(x) = − 7 x − 1 _ 3 + 2 x −2 _ 5 − x t 9 10 Merke Muster 11 t 12 13 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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