Freiler | Marsik | Olf Steininger | Wittberger Mathematik Oberstufe Lösungswege 8 QuickMedia App für Lösungen
Lösungswege 8, Schulbuch mit E-Book Schulbuchnummer: 185172 Lösungswege 8, Schulbuch mit E-BOOK+ Schulbuchnummer: 200173 Lösungswege 8, E-BOOK+ Solo Schulbuchnummer: 207909 Dieses Werk wurde auf der Grundlage eines zielorientierten Lehrplans verfasst. Konkretisierung, Gewichtung und Umsetzung der Inhalte erfolgen durch die Lehrerinnen und Lehrer. Liebe Schülerin, lieber Schüler, du bekommst dieses Schulbuch von der Republik Österreich für deine Ausbildung. Bücher helfen nicht nur beim Lernen, sondern sind auch Freunde fürs Leben. Kopierverbot Wir weisen darauf hin, dass das Kopieren zum Schulgebrauch aus diesem Buch verboten ist – § 42 Abs. 6 Urheberrechtsgesetz: „Die Befugnis zur Vervielfältigung zum eigenen Schulgebrauch gilt nicht für Werke, die ihrer Beschaffenheit und Bezeichnung nach zum Schul- oder Unterrichtsgebrauch bestimmt sind.“ Umschlagbild: Altrendo Images / Shutterstock; DashikiPo_Art / Shutterstock Technische Zeichnungen: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig 1. Auflage (Druck 0001) © Österreichischer Bundesverlag Schulbuch GmbH & Co. KG, Wien 2025 www.oebv.at Alle Rechte vorbehalten. Jede Art der Vervielfältigung, auch auszugsweise, gesetzlich verboten. Redaktion: Frederic Brünner, Wien Herstellung: Raphael Hamann, Wien; Oleksandra Toropenko, Wien Umschlaggestaltung: Petra Michel, Essen Layout: Petra Michel, Essen Satz: Da-TeX Gerd Blumenstein, Leipzig Druck: Brüder Glöckler GmbH, Wöllersdorf ISBN 978-3-209-11496-9 (Lösungswege OS SB 8 + E-Book) ISBN 978-3-209-11508-9 (Lösungswege OS SB 8 + E-BOOK+) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Philipp Freiler | Julia Marsik Markus Olf | Markus Wittberger Mathematik Oberstufe Lösungswege www.oebv.at 8 1. Scanne den QR-Code und lade die App auf dein Smartphone oder dein Tablet. 2. Scanne deinen Buchumschlag oder wähle dein Schulbuch in der App-Medienliste aus. 3. In der App-Medienliste findest du durchgerechnete Lösungen für alle mit markierten Aufgaben. QuickMedia App Android iOS Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
2 Inhalt So arbeitest du mit Lösungswege 4 7. Semester Integralrechnung Stammfunktionen 6 1.1 Stammfunktionen – das unbestimmte Integral 7 1.2 Stammfunktionen graphisch ermitteln 13 1.3 Weitere Integrationsregeln 17 Tei®-1-Aufgaben 19 Tei®-2-Aufgaben 20 Se®bstkontro®®e 22 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 24 2.1 Ober- und Untersummen – das bestimmte Integral 25 2.2 Produktsummen und das bestimmte Integral 31 2.3 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 36 2.4 Berechnung von Flächeninhalten 42 Tei®-1-Aufgaben 49 Tei®-2-Aufgaben 51 Se®bstkontro®®e 52 Weitere Anwendungen der Integralrechnung 54 3.1 Volumenberechnungen 55 3.2 Weg – Geschwindigkeit – Beschleunigung 61 3.3 Naturwissenschaftliche Anwendungen 69 3.4 Anwendungen aus der Wirtschaft 74 Tei®-1-Aufgaben 78 Tei®-2-Aufgaben 80 Se®bstkontro®®e 81 Reflexion: Axiome 82 Dynamische Systeme Dynamische Systeme 84 4.1 Diskrete Wachstumsmodelle und Abnahmemodelle 85 4.2 Kontinuierliche Wachstumsmodelle und Abnahmemodelle 94 4.3 Wirkungsdiagramme und Flussdiagramme 101 Tei®-2-ähnliche Aufgaben 107 Se®bstkontro®®e 108 Stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung und beurteilende Statistik Stetige Zufallsvariable 110 5.1 Dichte- und Verteilungsfunktionen 111 5.2 E rwartungswert, Varianz und Standardabweichung einer stetigen Zufallsvariablen 118 Tei®-2-ähnliche Aufgaben 120 Se®bstkontro®®e 121 Reflexion: Gödels Unvollständigkeitssatz 122 Normalverteilte Zufalls- variablen 124 6.1 Die Normalverteilung 125 6.2 Die Standard-Normalverteilung 136 6.3 Bestimmung von Parametern der Normalverteilung 141 6.4 Annäherung der Binomialverteilung durch die Normalverteilung 144 Tei®-2-ähnliche Aufgaben 149 Se®bstkontro®®e 150 1 2 3 4 5 6 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
3 Schließende und beurteilende Statistik 152 7.1 Schließende Statistik 153 7.2 Beurteilende Statistik 166 Tei®-2-ähnliche Aufgaben 173 Se®bstkontro®®e 174 Einschub: Die Kompensationsprüfung in Mathematik 176 zur Matura mit Lösungswege 180 8. Semester Maturavorbereitung Maturavorbereitung: Algebra und Geometrie 182 Grundkompetenzen Algebra und Geometrie 183 Wissen kompakt 184 8.1 Grundbegriffe der Algebra 187 8.2 (Un-)Gleichungen und Gleichungs- systeme 188 8.3 Vektoren 192 8.4 Trigonometrie 196 Tei®-2-Aufgaben 198 Maturavorbereitung: Funktionale Abhängigkeiten 202 Grundkompetenzen Funktionale Abhängigkeiten 203 Wissen kompakt 205 9.1 Funktionsbegriff, reelle Funktionen, Darstellungsformen und Eigenschaften 209 9.2 Lineare Funktionen 214 9.3 Potenzfunktionen 217 9.4 Polynomfunktionen 220 9.5 Exponentialfunktion 223 9.6 Sinusfunktion, Cosinusfunktion 227 Tei®-2-Aufgaben 231 Maturavorbereitung: Analysis 234 Grundkompetenzen Analysis 235 Wissen kompakt 236 10.1 Änderungsmaße 239 10.2 Regeln für das Differenzieren 243 10.3 Ableitungsfunktion/Stammfunktion 244 10.4 Summation und Integral 249 Tei®-2-Aufgaben 252 Maturavorbereitung: Wahrscheinlichkeit und Statistik 254 Grundkompetenzen Wahrscheinlichkeit und Statistik 255 Wissen kompakt 256 11.1 Beschreibende Statistik 258 11.2 Grundbegriffe der Wahrscheinlich- keitsrechnung 260 11.3 Wahrscheinlichkeitsverteilungen 264 Tei®-2-Aufgaben 268 Maturavorbereitung: Vernetzungsaufgaben – Typ 2 270 Tei®-2-Aufgaben mit reduziertem Kontext 271 Tei®-2-Aufgaben 273 Anhang Beweise 282 Technologie-Hinweise 284 Lösungen 286 Mathematische Zeichen 289 Register 290 Bildnachweis 292 7 8 9 10 11 12 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Hier gibt es eine On®ine-Ergänzung. Der Code führt direkt zu den Inha®ten. www.oebv.at Suchbegriff / ISBN / SBNr / On®ine-Code Suchen So arbeitest Du mit Lösungswege Liebe Schü®erin, ®ieber Schü®er, auf dieser Doppe®seite wird dir gezeigt, wie das Mathematik-Lehrwerk Lösungswege strukturiert und aufgebaut ist. 6 1 Mengen und Grundfertigkeiten des Rechnens ? 7 Kompetenzen 1.3 Prozentrechnen Lernzie®e: º º º Grundkompetenz für die schrift®iche Reifeprüfung: Vorwissen Theorie Technologie Merkwissen 1 Musteraufgabe mit Lösungen Tipp: Tipp Vorwissen Technologie Merke Muster Die Motivationsseite ist die erste Seite des Kapite®s und so®® Interesse für das Kapite® schaffen. Jedes Kapite® g®iedert sich in mehrere Unterkapite®, die durchnummeriert sind. Die Lernzie®e und Grundkompetenzen geben dir eine Übersicht über die wesent®ichen Themen des Abschnittes. Im Vorwissen wird kompakt der für das Fo®gende grund®egende und bereits ge®ernte Stoff zusammengeste®®t. In der Theorie werden die mathematischen Begriffe eingeführt und erk®ärt. Wo es sich anbietet, werden Tipps zum Techno®ogieeinsatz gegeben. Im Merkwissen werden zentra®e Inha®te zusammengefasst. Hi®feste®®ungen erhä®tst du bei den Tipps. Die Musteraufgaben zeigen Lösungsverfahren für wesent®iche Frageste®®ungen auf. 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Auszeichnung der Aufgaben Aufgabe mit einfachem Komp®exitätsgrad Aufgabe mit mitt®erem Komp®exitätsgrad Aufgabe mit hohem Komp®exitätsgrad Aufgabe zur Ref®exion über die Mathematik Teil-1-(ähnliche) Aufgaben als Vorbereitung auf die schrift®iche Reifeprüfung Aufgaben, die ohne Taschenrechner zu ®ösen sind (Unter-)Aufgaben, die im digitalen Zusatzmaterial und in der Quick Media App durchgerechnet sind Teil-2-(ähnliche) Aufgaben als Vorbereitung auf die schrift®iche Reifeprüfung kontextreduzierte Tei®‑2-ähnliche- Aufgaben > Prozentrechnen 1 1 2 3 4 5 6 7 9 8 » M1 ó M2K M2 8 > Prozentrechnen 1 1 2 3 4 5 6 7 9 8 » M1 ó M2K M2 8 1 2 3 4 5 6 7 9 8 » M1 ó M2K M2 8 1 2 3 4 5 6 7 9 8 » M1 ó M2K M2 8 3 4 5 6 7 9 8 » M1 ó M2K M2 6 8 3 4 5 6 7 9 8 » M1 ó M2K M2 8 5 6 7 9 8 M1 ó M2K M2 8 5 6 7 9 8 M1 ó M2K M2 10 > Prozentrechnen Zusammenfassung Am Ende des ®etzten Unterkapite®s werden in der Zusammenfassung die wesent®ichen Inha®te aufgezeigt. 11 Weg zur Matura Weg zur Matura > Teil-1-Aufgaben Tei®-1-Aufgaben 13 Weg zur Matura Weg zur Matura > Teil-2-Aufgaben Tei®-2-Aufgaben 14 1 > Selbstkontrolle Se®bstkontro®®e Bei der Se®bstkontro®®e werden die Lernzie®e nochma®s benannt und entsprechende Aufgaben angeboten, deren Lösungen am Ende des Buches abgedruckt sind. Im Bereich Tei®-1-Aufgaben befinden sich Aufgaben passend zum Tei®-1 der SRDP. Die Lösungen befinden sich am Ende des Buches. Passend zum Teil-2 der SRDP werden hier entsprechende Aufgaben abgestimmt auf das Kapite® angeboten. Die erste Aufgabe ist kontextreduziert. 5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
6 1 Stammfunktionen Blog Post Titel gepostet von Demon LaPlace 01.01.2021 00:00 Die Zukunft ist vorherbestimmt! 1) Mit Hilfe der Differentialrechnung kann man aus der Zeit-Ort-Funktion eines Körpers seine momentane Geschwindigkeit und seine momentane Beschleunigung zu beliebigen Zeitpunkten ermitteln. 2) Die Physik liefert uns Gesetze, mit denen wir die Kräfte, die auf einen Körper wirken, berechnen können. Und kennt man alle diese Kräfte, so kann man seine Beschleunigung ermitteln. 3) Wenn es gelingt, die Differentialrechnung umzukehren, kann man aus der Beschleunigung die Momentangeschwindigkeit, und aus der Momentangeschwindigkeit den Ort jedes Körpers berechnen – und damit kennt man die Zukunft von allem! 3 Kommentare Paul Kismet 01.01.2021 00:00 Das heißt alles ist schon vorherbestimmt! Dann kann ich an meinem Schicksal eigentlich nichts mehr ändern… …und ich bin auch für nichts verantwortlich. Heisen Berg 01.01.2021 00:00 Damit das funktioniert, müsste man aber für einen Zeitpunkt die Geschwindigkeit und den Ort eines Körpers ganz, ganz genau kennen. Ich habe meine Zweifel. Mandel-Brot 01.01.2021 00:00 Schon die kleinste Unsicherheit in der Orts- oder Geschwindgkeitsmessung kann ungeahnte Auswirkungen haben. Im Mathematikunterricht hast du seit der Vo®ksschu®e vie®e mathematische „Umkehrwege“ kennenge®ernt. Zum Beispie® gehört zu der mathematischen Operation „+“ die Umkehroperation „–“. Die Umkehroperation macht die „Wirkung“ einer mathematischen Operation wieder rückgängig: 5 + 3 – 3 = 5; 5 · 3 : 3 = 5 Bis jetzt hast du erfahren, dass Operation und Umkehroperation immer eindeutig zum Ausgangswert zurückführen. Das ist übrigens auch der Grund, warum Äquiva®enzumformungen so gut funktionieren. Bei der Umkehroperation zum Differenzieren ist das anders. Am Ende dieses Kapite®s wirst du diesen Witz verstehen: Auf der jähr®ichen Funktionenparty sind a®®e Funktionen versamme®t und unterha®ten sich prächtig. Nur die e-Funktion sitzt a®®eine in einer Ecke. A®s die anderen Funktionen das bemerken, meinen sie aufmunternd: ®n(x) ex sin(x) x Komm, ®iebe e-Funktion, integrier dich! Ach, das ändert doch gar nichts. x2 9 x f ? f’ f f Von wem stamme ich ab? 9 9 x + 1 9 x – 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
7 1.1 Stammfunktionen – das unbestimmte Integral Lernziele: º Den Begriff „Stammfunktion“ definieren und anwenden können º Eine Stammfunktion (das unbestimmte Integral) von verschiedenen Funktionen berechnen können º Zusammenhänge zwischen Differenzieren und Integrieren kennen º Einfache Regeln der Integralrechnung anwenden können º f(x) = cos(kx), f(x) = sin(kx), f(x) = e kxintegrieren können Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung: AN-R 3.1 D en Begriff „Ableitungsfunktion/Stammfunktion“ kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen können AN-R 4.2 E infache Regeln des Integrierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, Regeln für ∫ k · f(x)dxund ∫ f(k · x)dx; bestimmtes Integral von Polynomfunktionen ermitteln können Bilde die erste Ableitung der Funktion f. a) f(x) = 4 c) f(x) = sin(3 x) e) f(x) = − 4 x 3 g) f(x) = e −4 x b) f(x) = 4 x d) f(x) = cos(5 x) f) f(x) = − x 5+ 4 x3 − 12 h) f(x) = − 5 e −3 x Gegeben ist eine Zeit-Ort-Funktion s eines Körpers zum Zeitpunkt t (s in Meter, t in Sekunden). Bestimme die Zeit-Geschwindigkeitsfunktion v und die Zeit-Beschleunigungsfunktion a. a) s(t) = 12 t b) s(t) = − 5 t 2 c) s(t)=120 +12t + 5t2 Gib jeweils ein Beispiel für die angegebene Regel an (k ∈ ℝ\{0}). a) (f(x) + g(x))‘ = f‘(x) + g‘(x) b) (k · f(x))‘ = k · f‘(x) c) f(k · x)‘ = k · f‘(k · x) Stammfunktionen In Lösungswege 7 wurden die ersten Ableitungen von Funktionen gebildet. Diesen Vorgang nennt man Differenzieren. Betrachtet man nun eine Zeit-Ort-Funktion s mit s(t) = t 2 + 2 t + 1 (s in Meter, t in Sekunden), so wird durch Differenzieren die Zeit-Geschwindigkeitsfunktion v ermittelt: v(t) = s‘(t) = 2 t + 2 In der Praxis lässt sich v oft leichter angeben. Wie kann man allerdings nur durch Kenntnis von v wieder die Funktion s bestimmen? Man sucht eine Funktion s, deren Ableitung v ergibt. Die Funktion s wird dann Stammfunktion von v genannt. Durch Ausprobieren erhält man für die Funktion s z.B. folgende Möglichkeiten: s 1(t) = t 2+ 2t s 2(t) = t 2+2t+3 s 3(t) = t 2 + 2 t + 12 Man findet daher unendlich viele Stammfunktionen, da ein konstantes Glied beim Differenzieren „wegfällt“ und man dieses ohne Zusatzinformationen nicht bestimmen kann. Eine Stammfunktion s kann man in diesem Fall auf folgende Art anschreiben: s(t) = t 2 + 2 t + c(c ∈ ℝ) Kompetenzen 1 2 3 Vorwissen t Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
8 Stammfunktionen > Stammfunktionen – das unbestimmte Integral 1 Stammfunktionen Es sind f und F, zwei beliebige Funktionen mit derselben Definitionsmenge D, gegeben. Man nennt F Stammfunktion von f, wenn gilt: F ‘(x) = f(x) für alle x ∈ D Ist die Definitionsmenge D von f ein Intervall (D kann auch ganz ℝ sein) und sind F und G zwei Stammfunktionen von f, dann unterscheiden sich F und G nur durch eine reelle Konstante c. Es gilt: F(x) − G(x) = c Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = − 3 x 3 + 6·e3 x. Welche der gegebenen Funktionen F 1 bis F 4 sind Stammfunktionen von f? F 1(x) = − 3 x 4 _ 4 + 2·e 3 x + 3 F 3(x) = − 3 x 4 _ 4 + 2·e 3 x − 12 F 2(x) = − 3 x 4 _ 4 + 2·e 3 x + 5 F 4(x) = − 3 x 3 + 2·e3 x + 3 Differenziert man die Funktionen F 1 bis F3 erhält man die Funktion f. F1, F 2 und F3 sind daher Stammfunktionen von f und unterscheiden sich nur durch eine reelle Konstante. Ordne jeder Funktion f eine passende Stammfunktion F zu. a) 1 f(x) = − 3 x 2 + 5 A F(x) = 0 2 f(x) = − 2 x + 3 B F(x) = − x 3 + 5 x − 1 3 f(x) = − 5 C F(x) = − x 2 + 3 x + 111 4 f(x) = 2 x − 9 D F(x) = x 2 − 9x + 2,5 E F(x) = − 5 x F F(x) = − 6 x b) 1 f(x) = − 12 x 2 A F(x) = − 4 x 3 + 3 2 f(x) = − 2 B F(x) = e −3 x + 4 3 f(x) = − 3 e −3 x C F(x) = x 3 _ 3 + 3 x 2 _ 2 + 5 4 f(x) = x 2 + 3 x D F(x) = − 3 e −3 x + 2 E F(x) = 2 x + 3 F F(x) = − 2 x − 12 Bestimme durch „Ausprobieren“ eine Stammfunktion von f. a) f(x) = 7 c) f(x) = − 4 x e) f(x) = − 3 x 2 g) f(x) = e 4 x b) f(x) = − 12 d) f(x) = 12 x f) f(x) = − 12 x 2 h) f(x) = e −7 x Gegeben sind zwei Funktionen f und g. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A Ist f eine Stammfunktion von g, dann gilt g ‘ = f. B Gilt f‘ = g, dann ist f eine Stammfunktion von g. C Ist f eine Stammfunktion von g, dann ist auch f + c(c ∈ ℝ) eine Stammfunktion von g. D Ist f eine Stammfunktion von g, dann ist f auch eine Stammfunktion von g + c(c ∈ ℝ). E Jede Stammfunktion einer konstanten Funktion f (f(x) ≠ 0) ist eine quadratische Funktion. Merke Ó Vertiefung Stammfunktionen mv2z5t Muster 4 tAN-R 4.2 M1 5 t 6 AN-R 3.1 M1 7 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
9 Stammfunktionen > Stammfunktionen – das unbestimmte Integral Das unbestimmte Integral Das Auffinden von Stammfunktionen wird unbestimmtes Integrieren genannt. Dazu führt man eine neue Schreibweise ein: ∫ f(x)dx. Ist F eine Stammfunktion von f, so schreibt man F(x) +c=∫f(x)dx (c ∈ ℝ). Die im Integral vorkommende Funktion f wird als Integrand bezeichnet, die unabhängige Variable x als Integrationsvariable. Das Integralzeichen ∫ erinnert an ein S wie Stammfunktion. Es wird in Kapitel 2 noch eine genauere Bedeutung erhalten. Der Ausdruck dx wird als Differential bezeichnet und zeigt, welche Variable die unabhängige Variable ist. Auch dies wird in Kapitel 2 klarer werden. Unbestimmtes Integral Ist f eine auf einem Intervall I definierte stetige Funktion und ist F eine Stammfunktion von f, dann gilt: ∫ f(x)dx = F(x) + c 1 Gilt für eine Funktion G G (x) + c 2 = ∫ f(x)dx, dann folgt: F(x) − G(x) = c c ∈ ℝ Das Integrieren ist (bis auf eine additive Integrationskonstante c ∈ ℝ) die Umkehrung zum Differenzieren. Anmerkung: Der Zusammenhang F(x) +c=∫f(x)dxwird manchmal durch F + c = ∫fabgekürzt. In der Tabelle werden nun einige Regeln für das Finden von Stammfunktionen (Integrieren) angegeben. Diese Regeln werden durch Differenzieren bewiesen. Integrationsregeln Funktion unbestimmtes Integral Beweis 1 f(x)= r(r ∈ ℝ) F(x) = ∫rdx = rx + c F‘(x) = r 2 f(x) = x r (r ∈ ℝ\{− 1}) F(x) = ∫xr dx = x r+1 _ r + 1 + c F‘(x) = (r + 1) x r _ r + 1 = x r 3 f(x) = x −1 F(x) = ∫x−1 dx = +ln(x) + c F‘(x) = x −1 4 f(x) = sin(x) F(x) = ∫sin(x)dx = − cos(x) + c F‘(x) = − (− sin(x)) = sin(x) 5 f(x) = cos(x) F(x) = ∫cos(x)dx = sin(x) + c F‘(x) = cos(x) 6 f(x) = e x F(x) = ∫ex dx = ex + c F‘(x) = e x 7 f(x) = a x (a ∈ ℝ +\{1}) F(x) = ∫ax dx = a x _ ln(a) + c F‘(x) = a x _ ln(a) · ln(a) = a x Berechnung eines unbestimmten Integrals einer Funktion f Geogebra: Integral(f,x) Beispiel: Integral(3 x + 5,x) 3/2 x2 + 5 x TI-Nspire: Integral(f,x) Beispiel: Integral(3 x + 5,x) 3 x2/2 + 5 x Casio: ∫(Term, Variable) Beispiel: ∫(3 x + 5,x) 3 x² _ 2 + 5 x a) Berechne: ∫ x3 _ 8 dx b) Bestimme eine Stammfunktion von f mit f(x) = 5. a) Durch Anwendung von Regel 2 erhält man: ∫ x3 _ 8 dx = x 11 _ 8 _ 11 _ 8 +c=8 · x 11 _ 8 _ 11 + c b) Eine Stammfunktion von f erhält man durch Integrieren: F (x) = ∫5dx = 5x + c Merke Technologie Ó Technologie Anleitung Das unbestimmte Integral p53h75 Muster 8 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
10 Stammfunktionen > Stammfunktionen – das unbestimmte Integral 1 Gib eine Stammfunktion von f an. a) f(x) = − 3 c) f(x) = x 4 e) f(x) = x −133 g) f(x) = x 25 b) f(x) = − 12 d) f(x) = x −12 f) f(x) = x 23 h) f(x) = x Berechne und kontrolliere durch Differenzieren. a) ∫ x 2 _ 5 dx c) ∫ x − 2 _ 3 dx e) ∫ x 1 _ 6 dx g) ∫ x −1 dx b) ∫ x 3 _ 4 dx d) ∫ x − 4 _ 5 dx f) ∫ x − 2 _ 5 dx h) ∫ x 13 _ 9 dx Weitere Integrationsregeln In Lösungswege 7 wurden für das Differenzieren die Summen- und Differenzenregel sowie die Regel vom konstanten Faktor und die Konstantenregel eingeführt. Entsprechende Regeln gibt es auch in der Integralrechnung. Weitere Integrationsregeln Gegeben sind zwei Funktionen f und g und zwei Stammfunktionen F und G (von f und g), k sei eine reelle Zahl (≠ 0). Es gelten folgende Regeln: Summen- und Differenzenregel ∫ (f(x) ± g(x))dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx = F(x) ± G(x) Regel vom konstanten Faktor ∫ k · f(x)dx = k·∫f(x)dx = k · F(x) Konstantenregel ∫ f(k · x)dx = 1 _ k · F(k · x) Beweis der Summen- und Differenzenregel: Diese Regel wird durch Differenzieren bewiesen: (F ± G)‘ = F‘ ± G‘ = f ± g Die anderen beiden Regeln sind Thema in Aufgabe 15. Berechne eine Stammfunktion von f mit f(x) = − 3 x 3 + 2 x2 − 5 xund erkläre, welche Regeln verwendet wurden. Um diese Funktion zu integrieren, werden die Summenregel, die Differenzenregel und die Regel vom konstanten Faktor verwendet: Summenrege®, Rege® vom Differenzenrege® konstanten Faktor F(x) = ∫ (− 3 x 3 + 2 x2 − 5 x)dx = ∫ − 3 x 3 dx + ∫2x2 dx − ∫ 5 xdx = − 3·∫x3 dx + 2·∫x2 dx − 5·∫xdx = − 3 x 4 _ 4 + 2 x 3 _ 3 − 5 x 2 _ 2 + c Berechne drei verschiedene Stammfunktionen von f und erkläre, welche Regeln verwendet wurden. Überprüfe die Rechnung mittels Differenzieren. a) f(x) = x 4 + x 3 + 4 d) f(x) = − 60 _ 5 x 6 + 4 _ 3 x 4 − 2 x + 3 b) f(x) = x 4 − x 2 − x − 1 e) f(x) = 2 x5 + 3 x4 − 2 x + 15 c) f(x) = − 2 _ 3 x 3 + 1 _ 5 x 5 + x f) f(x) = − 7 _ 3 x 7 + 1 _ 5 x 4 − 2 _ 3 x Berechne eine Stammfunktion von f und erkläre, welche Regeln verwendet wurden. a) f(x) = − 12 x −3 + 2 x−1 − 5 c) f(x) = − x −5 + 2 x−4 − 2 x b) f(x) = 2 x 1 _ 2 + 2 x−1 − 5 d) f(x) = − 7 x − 1 _ 3 + 2 x −2 _ 5 − x t 9 10 Merke Muster 11 t 12 13 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
11 Stammfunktionen > Stammfunktionen – das unbestimmte Integral Vervollständige den Satz so, dass er mathematisch korrekt ist. Eine Stammfunktion von (1) ist (2) . (1) (2) f(x) = x 2 − 5 x + 3 F(x) = 1 _ 3 · ( 1 _ 3 x 3 − 5 _ 2 x 2 + 3 x) + c f(x) = 1 _ 3 · (x 2 − 5 x + 3) F(x) = 1 _ 3 · x 3 − 5 _ 2 x 2 + 3 f(x) = 1 _ 3 · x 2 − 5 x + 3 F(x) = 1 _ 3 x 3 − 5 x 2 + 3 x + c Beweise die Konstantenregel und die Regel vom konstanten Faktor mittels Differenzieren. Berechne ∫ (− 2 · e −5 x + 2 · sin(3 x))dx. ∫ (− 2 e −5 x + 2 · sin(3 x))dx = − 2·∫e−5 x dx + 2·∫sin(3 x)dx = = 2 · 1 _ 5 e −5 x + 2 · 1 _ 3 · (− cos(3 x)) = 2 _ 5 e −5 x − 2 _ 3 · cos(3 x) + c Berechne und gib an, welche Regeln verwendet wurden. a) ∫ (− 3 · e 4 x)d x c) ∫ (5 · e −12 x)d x e) ∫ (− 3 _ 4 · e 3 x)d x b) ∫ (2 · e −8 x)d x d) ∫ (2 _ 3 · e −x)d x f) ∫ (5 · e −11 x)d x Berechne und gib an, welche Regeln verwendet wurden. a) ∫ (− 2 · cos(3 x))d x c) ∫ (12 · cos(2 x))d x e) ∫ (8 · sin(6 x))d x b) ∫ (5 · cos(7 x))d x d) ∫ (6 · sin(2 x))d x f) ∫ (− 6 · sin(3 x))d x Ermittle das unbestimmte Integral (a, b ∈ ℝ\{0}). a) ∫ (− 3 · e −2 x + 4 · sin(2 x))d x c) ∫ (a · e −ax + b · sin(bx))d x b) ∫ (3 · e −2 x + 5 · cos(3 x))d x d) ∫ (− 2a·e−2 ax + 2 · cos(bx))d x Kreuze jene Funktion f an, für die gilt F(x) = 1 _ k · f(x), wobei F eine Stammfunktion von f ist (k ∈ ℝ\{0}). A B C D E F f(x) = k·ex f(x) = sin(kx) f(x) = cos(kx) f(x) = kx f(x) = e k·x f(x) = k Berechne das unbestimmte Integral (a , b, u ∈ ℝ\{0}). a) ∫ (3 t − 4)d t c) ∫ (3 a − t)d t e) ∫ (− 2 b + 3 v − 4)dv b) ∫ (3 c 2 − 4 c + 1)d c d) ∫ (3 o 3 − 4 o)d o f) ∫ (2 u − 1)d s 1) Zeige die Gültigkeit der Regel ∫ f‘(x) _ 9 f (x) = 2 · 9 _ f (x) durch Differenzieren. 2) Wende die Regel aus 1) an, um das folgende Integral zu berechnen: ∫ 2 x − 4 _ 9 x 2 − 4 x dx AN-R 4.2 M1 14 15 Muster 16 17 18 19 AN-R 4.2 M1 20 Ó Arbeitsblatt Stammfunktionen i7g5gx 21 22 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
12 Stammfunktionen > Stammfunktionen – das unbestimmte Integral Gib an, ob folgende Aussage stimmt, und begründe die Entscheidung. a) Jede Stammfunktion einer linearen Funktion ist eine lineare Funktion. b) Jede Stammfunktion einer konstanten Funktion f mit f(x) = c(c ∈ ℝ\{0}) ist linear. c) Jede Stammfunktion der Funktion f mit f(x) = 0ist konstant. d) Jede Stammfunktion einer Potenzfunktion ist eine Potenzfunktion. e) Jede Stammfunktion einer Potenzfunktion mit positivem Exponenten ist eine Potenzfunktion. f) Jede Stammfunktion einer rationalen Funktion ist eine rationale Funktion. Gegeben sind zwei Funktionen f und g, zwei Stammfunktionen F und G (von f und g) sowie eine positive reelle Zahl k. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A F − Gist eine Stammfunktion von f − g. B k · Fist eine Stammfunktion von k · f. C G ist eine Stammfunktion von g + k. D G · Fist eine Stammfunktion von g · f. E k · F(x) ist eine Stammfunktion von f(k · x). Auffinden einer speziellen Stammfunktion Die Geschwindigkeit eines Rennwagens bei einem Rennen lässt sich durch die Funktion v mit v(t) = 0, 5 t2 (v in m/s, t in Sekunden) beschreiben. Beim Start befindet sich der Wagen 10 m hinter der Startlinie. Bestimme die Zeit-Ort-Funktion s, wenn die Startlinie als Bezugspunkt angenommen wird. Um eine Zeit-Ort-Funktion zu erhalten, muss eine Stammfunktion von v bestimmt werden. Diese erhält man mittels Integration. Es gilt: s(t) = ∫ (0, 5 t 2)dt = 0, 5 t 3 _ 3 + c Um die zutreffende Stammfunktion zu finden, wird die Bedingung s(0) = − 10(da sich der Wagen zu Beginn 10 m hinter der Startlinie befindet) verwendet. Dadurch kann der Parameter c bestimmt werden: s (0) = c = − 10 ⇒ s(t) = 0, 5 t 3 _ 3 − 10 Die Geschwindigkeit eines Rennwagens bei einem Rennen lässt sich durch die Funktion v (v in m/s, t in Sekunden) beschreiben. Beim Start befindet sich der Wagen a Meter hinter der Startlinie. Bestimme die Zeit-Ort-Funktion s, wenn die Startlinie als Bezugspunkt (s = 0) angenommen wird. a) v(t) = 10 t; a = 12 b) v(t) = 0, 4 t2 + 3 t; a = 15 c) v(t) = 0,7 t2; a = 5 Bestimme jene Stammfunktion F von f, welche die angegebene Bedingung erfüllt. a) f(x) = − x − 5; F(− 3) = 1 d) f(x) = − 0, 34 · e−2 x; F(0) = 15 b) f(x) = − x 2 + 3 x − 2; F(3) = 2 e) f(x) = 0,12 · e3 x; F(0) = 4 c) f(x) = − 2 x 2 + x − 1; F(0) = 4 f) f(x) = 3 · sin(4 x); F(π) = 0 Gegeben ist eine Zeit-Beschleunigungsfunktion a (t in Sekunden, a in m /s2). Bestimme die Zeit-Ort-Funktion s, welche die gegebenen Bedingungen erfüllt. a) a(t) = 5; v(1) = 5; s(0) = 12 b) a(t) = 5 t + 1; v(1) = 12; s(3) = 60 23 AN-R 4.2 M1 24 Muster 25 26 27 Ó Arbeitsblatt Weg – Geschwindigkeit – Beschleunigung r4g2ds 28 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
13 1.2 Stammfunktionen graphisch ermitteln Lernziele: º Zusammenhänge zwischen Stammfunktion und Ableitungsfunktion erkennen können º Stammfunktionen graphisch ermitteln bzw. zuordnen können Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung: AN-R 3.1 D en Begriff „Ableitungsfunktion/Stammfunktion“ kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen können AN-R 3.2 D en Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion (bzw. Funktion und Stammfunktion) in deren graphischer Darstellung (er)kennen und beschreiben können AN-R 3.3 E igenschaften von Funktionen mit Hilfe der Ableitung(sfunktion) beschreiben können: Monotonie, lokale Extrema, Links- und Rechtskrümmung, Wendestellen Differentialrechnung bei stetigen Funktionen – Überblick – Der Differentialquotient (die erste Ableitung) von f an der Stelle x ist die momentane Änderungsrate von f an der Stelle x oder (geometrisch interpretiert) die Steigung der Tangente im Punkt P = (x|f(x)). – Ist f‘(p) = 0und f‘‘(p) < 0, dann ist p eine lokale Maximumstelle von f. – Ist f‘(p) = 0und f‘‘(p) > 0, dann ist p eine lokale Minimumstelle von f. – Ist f‘‘(p) = 0und ändert f an der Stelle p ihr Krümmungsverhalten, dann ist p eine Wendestelle von f. – Ist f‘(p) = 0und findet an dieser Stelle kein Monotoniewechsel statt, dann nennt man p eine Sattelstelle (Terrassenstelle) von f. Gegeben ist eine Polynomfunktion f. Berechne die Extrem- und Wendestellen, gib die Art der Extremstellen an und bestimme das Monotonie- und Krümmungsverhalten von f. a) f(x) = 1 _ 3 x 3 + x 2 − 3 x + 1 c) f(x) = 5 _ 2 x 4 − 5 x 2 b) f(x) = 1 _ 15 x 3 + 1 _ 2 x 2 − 36 _ 5 x d) f(x) = 1 _ 4 x 4 − 12, 5 x2 + 5 Bestimme die Funktionsgleichung der Tangente von f an der Stelle p. a) f(x) = − 2 x 2 + 3 x − 4; p = − 5 c) f(x) = x 3+ 3 x2 − 2 x + 1; p = − 2 b) f(x)= 3 x2 + x − 1; p = − 2 d) f(x) = − x 3 − 2 x 2 + 4 x; p = 5 Gegeben ist der Graph einer Polynomfunktion f dritten Grades. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A f‘besitzt drei Nullstellen. B f‘(x) < 0für alle x ∈ [2; 3]. C f‘‘ist eine lineare Funktion. D f‘‘(4) = 0 E f‘‘(1) > 0 Kompetenzen Merke 29 Ó Technologie Anleitung Lösen der Aufgabe mit Technologie c9u7pj 30 AN-R 3.3 M1 31 x f(x) 1 2 3 4 5 6 7 –2 1 2 3 4 5 –4 –3 –2 –1 0 f Vorwissen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
14 Stammfunktionen > Stammfunktionen graphisch ermitteln 1 Gegeben ist der Graph der ersten Ableitung einer Polynom- funktion f dritten Grades. Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. A f besitzt zwei Wendestellen. B f besitzt an der Stelle 3 eine lokale Minimumstelle. C f ist für x > 4positiv gekrümmt. D f besitzt an der Stelle 3,5 eine Minimumstelle. E f ist für x < 3streng monoton steigend. Gegeben ist der Graph der Funktion f. Skizziere den Graphen der Ableitungsfunktion von f. a) b) c) x f(x), f’(x) 1 2 3 4 5 6 –4 –2 1 2 3 4 5 6 –2 –1 0 f x 1 2 3 4 5 –4 –2 1 2 3 4 –4 –3 –2 –1 0 f f(x), f’(x) x 1 2 3 4 5 6 7 –2 1 2 3 4 –4 –3 –2 –1 0 f f(x), f’(x) Stammfunktionen graphisch ermitteln In der nebenstehenden Abbildung ist der Graph der Funktion f mit f(x) = 1 _ 5 · (x 2 − x − 6) dargestellt. Im Folgenden wird gezeigt, wie man eine Stammfunktion graphisch ermitteln kann: 1) Es werden die Nullstellen von f gesucht, da diese mögliche Extremstellen von F sind (es könnten auch Sattelstellen sein). 2) Es werden die lokalen Extremstellen von f gesucht, da diese mögliche Wendestellen von F sind. 3) Besitzt f in einem Intervall positive Funktionswerte, dann muss der Graph von F in diesem Intervall streng monoton steigend sein; besitzt f in einem Intervall negative Funktionswerte, dann muss der Graph von F in diesem Intervall streng monoton fallend sein. Es muss nun der Graph einer Funktion gefunden werden, der alle genannten Punkte erfüllt. In nebenstehender Abbildung ist eine mögliche Stammfunktion F1 nach obiger Methode ermittelt worden. Wie in 1.1 erarbeitet, gibt es aber unendlich viele Stammfunktionen von f. Würde man diese mittels Integral berechnen, erhält man: F(x) = ∫ 1 _ 5 · (x 2 − x − 6)dx = 1 _ 5 · ( x 3 _ 3 − x 2 _ 2 − 6 x) + c AN-R 3.2 M1 32 x f’(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 –2 1 2 3 4 5 6 7 –2 –1 0 f’ 33 Ó Arbeitsblatt Graphisches Differenzieren g463vz Ó Technologie Darstellung Stammfunktionen graphisch ermitteln 29a6e7 x f(x) 1 2 3 4 5 –4 –2 1 2 3 4 –4 –3 –2 –1 0 f x f(x), F1(x) 1 2 3 4 5 –4 –2 1 2 3 4 –4 –3 –2 –1 0 f F1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
15 Stammfunktionen > Stammfunktionen graphisch ermitteln Geometrisch gesehen bedeutet das, dass man die anderen Stammfunktionen durch Verschiebung des Graphen von F 1 entlang der y-Achse erhält. In nebenstehender Abbildung sind weitere Stammfunktionen von f eingezeichnet. Gegeben ist der Graph einer Polynomfunktion f. Skizziere die Graphen dreier Stammfunktionen von f. a) x y 1 2 3 4 5 6 –6 –4 –2 1 2 3 4 –4 –3 –2 –1 0 f d) x y 1 2 3 4 5 6 –6 –4 –2 1 2 3 4 –4 –3 –2 –1 0 f b) x y 1 2 3 4 5 6 –6 –4 –2 1 2 3 4 –4 –3 –2 –1 0 f e) x y 2 4 6 8 10 12 –12 –8 –4 2 4 6 8 –8 –6 –4 –2 0 f c) x y 1 2 3 4 5 6 –6 –4 –2 1 2 3 4 –4 –3 –2 –1 0 f f) x y 2 4 6 8 10 12 –12 –8 –4 2 4 6 8 –8 –6 –4 –2 0 f Gegeben sind eine Polynomfunktion f und drei verschiedene Stammfunktionen F, G, H von f. Gib an, ob die Aussage richtig oder falsch ist und begründe die Entscheidung. a) F, G und H besitzen an jeder Stelle p die gleiche Steigung. b) F, G und H besitzen dieselben Extrempunkte. c) F, G und H besitzen dieselben Wendestellen. d) G entsteht durch Verschiebung des Graphen von f entlang der y-Achse. x y 1 2 3 4 5 –4 –2 1 2 3 4 –4 –3 –2 –1 0 f F1 F2 F3 F4 F5 AN-R 3.2 M1 34 Ó Arbeitsblatt Stammfunktionen graphisch ermitteln 62g7fs 35 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
16 Stammfunktionen > Stammfunktionen graphisch ermitteln Gegeben ist der Graph einer Funktion f. Zeichne die Graphen zweier weiterer Funktionen (≠ f), die dieselbe Ableitungsfunktion wie f besitzen. a) x y 1 2 3 –8 –6 –4 –2 1 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 f b) x y 1 2 3 4 5 6 –6 –4 –2 1 2 3 4 –4 –3 –2 –1 0 f Gegeben ist der Graph einer quadratischen Funktion f. Kreuze jene beiden Graphen an, die Graphen von Stammfunktionen von f sind. A B C x F(x) 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 6 8 –2 0 F x F(x) 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 6 8 –2 0 F x F(x) 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 6 8 –2 0 F D E x F(x) 2 4 6 –6 –4 –2 2 4 6 8 –2 0 F x F(x) 2 4 6 –6 –4 –2 2 –4 –2 0 –8 –6 F Gegeben sind eine Polynomfunktion f und eine Stammfunktion F von f. Gib an, ob die Aussage richtig oder falsch ist und stelle sie – wenn nötig – richtig. a) Besitzt f an der Stelle x eine Nullstelle, dann besitzt F an der Stelle x eine Extremstelle. b) Besitzt f an der Stelle x eine Maximumstelle, dann besitzt F an der Stelle x eine Nullstelle. c) Besitzt f in einem Intervall [a; b] nur positive Funktionswerte, dann besitzt auch F in diesem Intervall nur positive Funktionswerte. d) Ist f eine konstante Funktion, dann ist F sicher keine konstante Funktion. AN-R 3.2 M1 36 Ó Arbeitsblatt Stammfunktionen – Maturaformate 9dy8sn AN-R 3.2 M1 37 x f(x) 2 4 6 –6 –4 –2 2 –4 –2 0 f 38 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
17 1.3 Weitere Integrationsregeln Lernziele: º Die Substitutionsmethode anwenden können º Die partielle Integration anwenden können In Lösungswege 7 wurden die Produktregel und die Kettenregel erarbeitet. Ähnliche Regeln benötigt man auch, um komplexere Integrale zu berechnen. Die Produktregel und die Kettenregel Produktregel: f(x) = g(x) · h(x) ⇒ f‘(x) = g‘(x) · h(x) + g(x) · h‘(x) Kettenregel: f(x) = g(h(x)) ⇒ f‘(x) = g‘(h(x)) · h‘(x) („äußere Ableitung mal innere Ableitung“) Berechne die erste Ableitung von f mit der Produktregel. a) f(x) = (x − 5) · (2 x + 3) c) f(x) = (x 2 − 3) · cos(x) b) f(x) = (2 x + 3) · (1 − 5 x) d) f(x) = (3 x − 5) · sin(x) Berechne die erste Ableitung von f mit der Kettenregel. a) f(x) = (3 x 2 − 3) 12 c) f(x) = cos(3 x 2 − 5 x) b) f(x) = (2 − 6 x 2) 10 d) f(x) = sin(2 x 2 − 5) Substitutionsmethode Viele Integrale lassen sich durch die bekannten Regeln nicht berechnen. Oft hilft eine geeignete Substitution (Ersetzung). Den Beweis der Substitutionsmethode findet man auf Seite 282. Die Substitutionsmethode Ist f stetig und ist g differenzierbar, dann ist folgende Substitution möglich: x = g(u) bzw. dx = g‘(u)du ⇒ ∫ f(x)dx = ∫f(g(u)) · g‘(u)du Berechne durch Substitution. ∫ (7 x − 12) 12 dx Um „einfacher“ integrieren zu können, setzt man u = 7x − 12. Um auch dx zu substituieren, wird folgender Trick angewendet: u ‘ = du _ dx = 7 ⇒ dx = 1 _ 7 · du Durch Einsetzen erhält man: ∫ (7 x − 12) 12 dx = ∫u 12 · 1 _ 7 du = 1 _ 7 · u 13 _ 13 + c Setzt man nun wieder u = 7x − 12, erhält man ∫ (7 x − 12) 12 dx = (7 x − 12) 13 _ 91 + c Berechne durch Substitution. a) ∫ (3 x − 1) 8 dx d) ∫ (4 x − 8) 22 dx g) ∫ 1 _ 1 − 4 x dx b) ∫ (2 − 5 x) 19 dx e) ∫ (1 − 12 x) 23 dx h) ∫ 1 _ 3 − 5 x dx c) ∫ (3 − x) 5 dx f) ∫ 1 _ 2 x − 4 dx i) ∫ 1 _ (2 x − 3) 12 dx Kompetenzen Merke 39 40 Merke Muster 41 42 Ó Arbeitsblatt Substitution i2k5xg Vorwissen Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
18 Stammfunktionen > Weitere Integrationsregeln 1 Partielle Integration So wie es die Produktregel beim Differenzieren gibt, gibt es auch eine entsprechende Regel beim Integrieren, mit der sich manche Integrale berechnen lassen. Die Methode wird partielle Integration genannt und kann mit der Produktregel bewiesen werden. Partielle Integration Sind f und g zwei Funktionen, F eine Stammfunktion von f und g ‘die Ableitungsfunktion von g, dann gilt: ∫ f(x) · g(x)dx = F(x) · g(x) − ∫ F(x) · g‘(x)d x Berechne ∫ x · ln(x)dx. Es wird folgende Zuordnung gewählt: f(x) = x g(x) = ln(x) ⇒ F(x) = x 2 _ 2 g‘(x) = 1 _ x Durch Anwendung obiger Regel erhält man: ∫x·ln(x)dx = x 2 _ 2 · ln(x) − ∫ x 2 _ 2 · 1 _ x dx = x 2 _ 2 · ln(x) − ∫ x _ 2 dx = x 2 _ 2 · ln(x) − x 2 _ 4 + c Tipp: Überlege, welcher Faktor durch Ableiten einfacher wird. Berechne das unbestimmte Integral. a) ∫5x·ln(2 x)d x c) ∫x · sin(2 x)d x e) ∫3x·sin(4 x)dx b) ∫3x·ln(4 x)d x d) ∫x · cos(2 x)d x f) ∫6x·cos(2 x)d x Zusammenfassung Stammfunktionen – das unbestimmte Integral Sind f und F zwei beliebige Funktionen mit derselben Definitionsmenge D, dann nennt man F Stammfunktion von f, wenn gilt: F‘(x) = f(x)für alle x ∈ Dbzw. ∫f(x)dx = F(x) + c (c ∈ ℝ) Ist die Definitionsmenge D von f ein Intervall (D kann auch ganz ℝ sein) und sind F und G zwei Stammfunktionen von f, dann unterscheiden sich F und G nur durch eine reelle Konstante c. Es gilt: F(x) − G(x) = c Das Finden einer Stammfunktion wird auch unbestimmtes Integrieren genannt. Das unbestimmte Integrieren ist (bis auf eine additive Integrationskonstante c ∈ ℝ) die Umkehrung zum Differenzieren. Weitere Integrationsregeln Sind f und g zwei auf einem Intervall definierte Funktionen und F und G zwei Stammfunktionen von f bzw. g, k eine reelle Zahl (≠ 0), dann gilt: Summen- und Differenzenregel: ∫ (f(x) ± g(x))dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx = F(x) ± G(x) Regel vom konstanten Faktor: ∫ k · f(x)dx = k·∫f(x)dx = k · F(x) Konstantenregel: ∫ f(k · x)dx = 1 _ k · F(k · x) Substitutionsregel: x = g(u) bzw. dx = g‘(u)du ⇒ ∫ f(x)dx = ∫f(g(u)) · g‘(u)d u Partielle Integration: ∫ f(x) · g(x)dx = F(x) · g(x) − ∫ F(x) · g‘(x)d x MerkeÓ Vertiefung Beweis partielle Integration jh2sz8 Muster 43 44 Ó Arbeitsblatt Partielle Integration j4i6bd Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
Weg zur Matura Stammfunktionen > Teil-1-Aufgaben 19 Teil-1-Aufgaben Grundkompetenzen für die schriftliche Reifeprüfung AN-R 3.1 D en Begriff „Ableitungsfunktion/Stammfunktion“ kennen und zur Beschreibung von Funktionen einsetzen können AN-R 3.2 D en Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion (bzw. Funktion und Stammfunktion) in deren graphischer Darstellung (er)kennen und beschreiben können AN-R 4.2 E infache Regeln des Integrierens kennen und anwenden können: Potenzregel, Summenregel, ∫ k · f(x)dx, ∫f(k · x)dx[...] Gegeben sind zwei stetige Funktionen f und g. Es gilt der Zusammenhang f‘(x) = g(x). Kreuze die beiden in jedem Fall zutreffenden Aussagen an. Es sei f eine Polynomfunktion dritten Grades, f' die Ableitungsfunktion von f und F und G zwei Stammfunktionen von f. Vervollständige den Satz so, dass er mathematisch korrekt ist. Die zweite Ableitungsfunktion von (1) ist die Funktion (2) . (1) (2) f f f' f' F G Gegeben ist der Graph einer Funktion f. Skizziere den Graphen jener Stammfunktion g von f mit der Eigenschaft g(0)= 0. Gegeben sind zwei stetige Funktionen f und g sowie eine positive reelle Zahl k. Kreuze die beiden in jedem Fall zutreffenden Aussagen an. A f ist eine Stammfunktion von g. B g ist eine Stammfunktion von f. C f ist die Ableitungsfunktion von g. D f + cist eine Stammfunktion von g (c ∈ ℝ). E g + cist eine Ableitungsfunktion von f (c ∈ ℝ). AN-R 3.1 M1 45 AN-R 3.1 M1 46 AN-R 3.2 M1 47 x f(x), g(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 –6 –4 –2 1 2 3 –6 –4 –2 0 f AN-R 4.2 M1 48 AN-R 4.2 M1 49 A ∫ (f(x) + g(x))dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)d x B ∫ f(k · x)dx = k·∫f(x)dx C ∫ (k + f(x))dx=k+∫f(x)d x D ∫ (g(x) · f(x))dx = ∫g(x)dx·∫f(x)d x E ∫ (k · f(x) + g(x))dx = k·∫f(x)dx + ∫g(x)dx Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
20 1 Weg zur Matura Stammfunktionen > Teil-2-Aufgaben Teil-2-Aufgaben Geschwindigkeit eines Fahrzeugs Die Geschwindigkeit eines bestimmten Fahrzeugs kann im Zeitintervall [0;10] mithilfe der linearen Funktion v1 modelliert werden. t... Zeit in s v 1(t) … Geschwindigkeit des Fahrzeugs in m/s Die zugehörige Zeit-Ort-Funktion wird mit s1 bezeichnet. Es gilt: s1(0)= 0und s1(10) = 50 a) In der nachstehenden Abbildung ist der Graph von v1 dargestellt. t v1(t) 123456789101112 10 20 30 40 50 60 0 v1 1) Zeichne den Graphen der Funktion s1 in die obige Abbildung ein. b) Für die Geschwindigkeit v2 eines anderen Fahrzeugs gilt: v2(t) = v 1(t)+ 5für alle t ∈ [0; 10] 1) Kreuze die beiden auf jeden Fall zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5] A Die Funktion s1 ist auch eine Stammfunktion von v2. B Jede Stammfunktion von v2 besitzt an der Stelle 10 ein lokales Maximum. C Jede Stammfunktion von v2 ist eine quadratische Funktion. D Jede Stammfunktion von v2 unterscheidet sich von der Stammfunktion s1 nur um eine Konstante. E Es gibt nur eine Stammfunktion s2 von v2, die die Bedingung s 2(0)= 0erfüllt. 2) Trage in der nachstehenden Gleichung den fehlenden Ausdruck in das dafür vorgesehene Kästchen ein. ∫ v 2(t) dt = ∫v 1(t) dt + c) Für die Geschwindigkeit v3 eines weiteren Fahrzeugs gilt: v 3(t) = v 1(t) · tfür alle t ∈ [0; 10] 1) Ergänze die Textlücken im nachstehenden Satz durch Ankreuzen des jeweils zutreffenden Satzteils so, dass eine richtige Aussage entsteht. Jede Stammfunktion von v3 ist eine Polynomfunktion vom Grad (1) und für zwei verschiedene Stammfunktionen F 1und F2 von v3 gilt: (2) . (1) (2) 2 F 1 = k·F2 mit k ∈ ℝ 3 F 1 = t·F2 4 F 1=k+F2 mit k ∈ ℝ M2 50 K AN-R 3.2 AN-R 3.2 AN-R 3.1 AN-R 4.2 AN-R 4.2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
21 Weg zur Matura Stammfunktionen > Teil-2-Aufgaben Elektrische Ladung In einem elektrischen Stromkreis transportieren (meist) Elektronen Energie zu einem Gerät, um dieses in Betrieb zu setzen. Elektronen sind elektrisch geladen. Die elektrische Ladung Q eines Körpers wird in Coulomb (C) gemessen. Die momentane Änderungsrate der elektrischen Ladung bezüglich der Zeit t (in Sekunden) bezeichnet man als elektrische Stromstärke I (in Ampere). Sie gibt an, wie viel Ladung pro Sekunde an dem Punkt des Leiters, an dem gemessen wird, vorbeifließt. a) Die nebenstehende Abbildung zeigt den Graphen der Funktion I, welche die elektrische Stromstärke während des Zeitintervalls [6; 22] in einem Leiter beschreibt. 1) Skizziere in die Abbildung den Graphen der Funktion Q der elektrischen Ladung, für die Q(13) = 30gilt. b) Die Funktion I der elektrischen Stromstärke ist in einem anderen Leiter im Zeitintervall [0; 9] durch die Funktionsgleichung I(t) = − 1 _ 600 · t 2 − 1 _ 600 · t + 0,15 gegeben. 1) Bestimme eine Zeit-Ladungsfunktion für den Stromfluss der durch die Funktion I beschriebenen elektrischen Stromstärke. 2) Berechne die Ladungsmenge, die im Zeitintervall [3; 9] am Messpunkt vorbeifließt. c) Im Folgenden sind einige Aussagen zu den Funktionsgleichungen Q (t), I(t)und I‘(t)für die Ladung Q, die elektrische Stromstärke I und die momentane Änderungsrate I‘der elektrischen Stromstärke gegeben. Nimm an, dass alle Funktionen stetig sind. 1) Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an. [2 aus 5] A Ist die elektrische Stromstärke zum Zeitpunkt t = 0gegeben, so ist die ZeitLadungsfunktion eindeutig festgelegt. B Ist die Funktion für die elektrische Stromstärke konstant, so hängt die ZeitLadungsfunktion im Zeitintervall [t 1; t 2] linear von der Zeit ab. C Sind Q(t) und Z(t) zwei Zeit-Ladungsfunktionen, die zur elektrischen Stromstärkenfunktion I(t) gehören, so unterscheiden sich Q und Z nur durch eine Konstante. D Die Funktion I(t) der elektrischen Stromstärke I kann aus einer gegebenen Funktion I‘(t) für ihre momentane Änderungsrate I‘eindeutig bestimmt werden. E Ist I(t) linear, so ist es auch Q (t). M2 51 K AN-R 3.2 t I(t), Q(t) 2 4 6 8 1012141618202224 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 0 I AN-R 4.2 AN-R 3.1 AN-R 3.1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv
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